(完整版)2017年数的开方及二次根式
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解析
第4课时┃数的开方及二次根式
(1)若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能 组成三角形；
(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4，8，8， 能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20. 方法点析
(1)常见的非负数有三种形式：|a|， a，a2. (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
第4课时┃数的开方及二次根式
探究四 二次根式的大小比较 命题角度： 1. 二次根式的大小比较方法； 2. 利用计算器进行二次根式的大小比较． 例5 [2013·德州] 比较大小：－3 7 与－2 15.
解 析 先比较 3 7与 2 15的大小．
第4课时┃数的开方及二次根式
解：∵－3 7＝－ 32×7＝－ 63， －2 15＝－ 22×15＝－ 60， 且 63＞60， ∴ 63＞ 60，∴3 7＞2 15， 即－3 7＜－2 15.
最
简 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
二 次
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
根 (2)被开方数不含分母
式
第4课时┃数的开方及二次根式 考点3 二次根式的性质
两个重要 二 的性质 次 根 式 积的算术 的 平方根 性 质
商的算术 平方根
( a)2＝a(a___≥_0____)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第4课时┃数的开方及二次根式
(2)(－2)2的算术平方根是( A )
A．2
B．±2
C．－2
D. 2
解 析 16的平方根是±4，(2)(－2)2的算术平方根是2.
方法点析
Βιβλιοθήκη Baidu
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0， 立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根与它 本身同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简，再进行开方运算．
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开 方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转 化为求不等式组的解集．
第4课时┃数的开方及二次根式
探究三 二次根式的化简与计算 命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的
算术平方根； 2. 二次根式的加、减、乘、除运算．
方
立方根 一个数x的___立__方___等于a，那么x叫做a的立方根
第4课时┃数的开方及二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二 定义 形如 a (___a_≥_0___)的式子叫做二次根式
次
根 式
二次根式 有意义的
条件
1.被开方数大于或等于零2.分母中有字母时，要 保证分母不为零3.出现a的0次幂时，a≠0
考点6 二次根式的估值
1.先对二次根式平方2.找出平方后所得数字相邻的两方开得 尽方的整数3.对以上两个整数开方4.确定这个二次根式的 值在这两个整数之间
归类探究
探究一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
例1 (1)[2013·资阳] 16的平方根是( B )
第4课时┃数的开方及二次根式
方法点析 利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进
行运算．在中考中，二次根式常与零指数幂、负整数指数 幂结合在一起考查．
第4课时┃数的开方及二次根式
例4 [2013·德州]先化简，再求值：
(aa2＋－22a－a2＋a－4a1＋4)÷aa－ ＋42，其中 a＝ 2－1.
解：原式＝a（aa－＋22）－（aa＋－21）2÷aa－ ＋42
＝a（aa－＋42）2×aa－＋42
＝a（a1＋2）.
当a＝ 2－1时，
原式＝（
1 2－1）（
2－1＋2）＝（
1 2－1）（
2＋1）＝1.
第4课时┃数的开方及二次根式
方法点析 此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再
代入求值；最后的结果要化为分母不含根号的数或者是最简 二次根式．
a2＝|a|＝
a －a
（a≥0） （a<0）
ab＝ a· b(a___≥_0____，b___≥_0____)
ba＝
b(a___>_0____，b___≥_0____) a
第4课时┃数的开方及二次根式 考点4 二次根式的运算
二次根式 先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次 的加减 根式进行合并
第4课时 数的开方及二次根式
数学中考复习《数 与式》
数的开方及二次根式
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
一个数x的__平__方__等于a，那么x叫做a的平方根， 平方根
数
记作± a
的 算术平 一个正数x的__平__方____等于a，则x叫做a的算术平
开 方根 方根，记作 a .0的算术平方根是0
二次根式 的乘法
a· b＝ ab(a___≥_0____，b___≥_0____)
二次根式 的除法
b＝ a
ba(a___>_0____，b___≥_0____)
第4课时┃数的开方及二次根式
考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
(1)
1＝ a
1· a·
a＝ a
aa；(2)
1＝ a＋b
a＋b a＋b
第4课时┃数的开方及二次根式
探究二 二次根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念； 2．最简二次根式的概念．
例2 围是(
[2012·广州]若代数式 D)
x x－1
有意义，则实数x的取值范
A．x≠1
B．x≥0
C．x＞0
D．x≥0且x≠1
第4课时┃数的开方及二次根式
解 析 由题意得x≥0且x－1≠0，解得x≥0且x≠1， 故选D. 方法点析
方法点析
比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根 号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号 内．
第4课时┃数的开方及二次根式
探究五 二次根式的非负性 命题角度： 1. 二次根式的非负性的意义； 2. 利用二次根式的非负性进行化简． 例6 [2013·凉山州]若实数x，y满足|x－4|＋ y－8 ＝0，则 以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为___2_0____．
第第4课4课时时┃数┃数的的开开方方及及二二次次根根式式
例3 [2013·济宁]计算：
(2－ 3)2012·(2＋ 3)2013－2－ 23－(－ 2)0. 解：(2－ 3)2012·(2＋ 3)2013－2－ 23－(－ 2)0
＝[(2－ 3)(2＋ 3)]2012·(2＋ 3)－ 3－1 ＝1.
第4课时┃数的开方及二次根式
(1)若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能 组成三角形；
(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4，8，8， 能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20. 方法点析
(1)常见的非负数有三种形式：|a|， a，a2. (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
第4课时┃数的开方及二次根式
探究四 二次根式的大小比较 命题角度： 1. 二次根式的大小比较方法； 2. 利用计算器进行二次根式的大小比较． 例5 [2013·德州] 比较大小：－3 7 与－2 15.
解 析 先比较 3 7与 2 15的大小．
第4课时┃数的开方及二次根式
解：∵－3 7＝－ 32×7＝－ 63， －2 15＝－ 22×15＝－ 60， 且 63＞60， ∴ 63＞ 60，∴3 7＞2 15， 即－3 7＜－2 15.
最
简 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
二 次
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
根 (2)被开方数不含分母
式
第4课时┃数的开方及二次根式 考点3 二次根式的性质
两个重要 二 的性质 次 根 式 积的算术 的 平方根 性 质
商的算术 平方根
( a)2＝a(a___≥_0____)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第4课时┃数的开方及二次根式
(2)(－2)2的算术平方根是( A )
A．2
B．±2
C．－2
D. 2
解 析 16的平方根是±4，(2)(－2)2的算术平方根是2.
方法点析
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(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0， 立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根与它 本身同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简，再进行开方运算．
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开 方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转 化为求不等式组的解集．
第4课时┃数的开方及二次根式
探究三 二次根式的化简与计算 命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的
算术平方根； 2. 二次根式的加、减、乘、除运算．
方
立方根 一个数x的___立__方___等于a，那么x叫做a的立方根
第4课时┃数的开方及二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二 定义 形如 a (___a_≥_0___)的式子叫做二次根式
次
根 式
二次根式 有意义的
条件
1.被开方数大于或等于零2.分母中有字母时，要 保证分母不为零3.出现a的0次幂时，a≠0
考点6 二次根式的估值
1.先对二次根式平方2.找出平方后所得数字相邻的两方开得 尽方的整数3.对以上两个整数开方4.确定这个二次根式的 值在这两个整数之间
归类探究
探究一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
例1 (1)[2013·资阳] 16的平方根是( B )
第4课时┃数的开方及二次根式
方法点析 利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进
行运算．在中考中，二次根式常与零指数幂、负整数指数 幂结合在一起考查．
第4课时┃数的开方及二次根式
例4 [2013·德州]先化简，再求值：
(aa2＋－22a－a2＋a－4a1＋4)÷aa－ ＋42，其中 a＝ 2－1.
解：原式＝a（aa－＋22）－（aa＋－21）2÷aa－ ＋42
＝a（aa－＋42）2×aa－＋42
＝a（a1＋2）.
当a＝ 2－1时，
原式＝（
1 2－1）（
2－1＋2）＝（
1 2－1）（
2＋1）＝1.
第4课时┃数的开方及二次根式
方法点析 此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再
代入求值；最后的结果要化为分母不含根号的数或者是最简 二次根式．
a2＝|a|＝
a －a
（a≥0） （a<0）
ab＝ a· b(a___≥_0____，b___≥_0____)
ba＝
b(a___>_0____，b___≥_0____) a
第4课时┃数的开方及二次根式 考点4 二次根式的运算
二次根式 先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次 的加减 根式进行合并
第4课时 数的开方及二次根式
数学中考复习《数 与式》
数的开方及二次根式
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
一个数x的__平__方__等于a，那么x叫做a的平方根， 平方根
数
记作± a
的 算术平 一个正数x的__平__方____等于a，则x叫做a的算术平
开 方根 方根，记作 a .0的算术平方根是0
二次根式 的乘法
a· b＝ ab(a___≥_0____，b___≥_0____)
二次根式 的除法
b＝ a
ba(a___>_0____，b___≥_0____)
第4课时┃数的开方及二次根式
考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
(1)
1＝ a
1· a·
a＝ a
aa；(2)
1＝ a＋b
a＋b a＋b
第4课时┃数的开方及二次根式
探究二 二次根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念； 2．最简二次根式的概念．
例2 围是(
[2012·广州]若代数式 D)
x x－1
有意义，则实数x的取值范
A．x≠1
B．x≥0
C．x＞0
D．x≥0且x≠1
第4课时┃数的开方及二次根式
解 析 由题意得x≥0且x－1≠0，解得x≥0且x≠1， 故选D. 方法点析
方法点析
比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根 号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号 内．
第4课时┃数的开方及二次根式
探究五 二次根式的非负性 命题角度： 1. 二次根式的非负性的意义； 2. 利用二次根式的非负性进行化简． 例6 [2013·凉山州]若实数x，y满足|x－4|＋ y－8 ＝0，则 以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为___2_0____．
第第4课4课时时┃数┃数的的开开方方及及二二次次根根式式
例3 [2013·济宁]计算：
(2－ 3)2012·(2＋ 3)2013－2－ 23－(－ 2)0. 解：(2－ 3)2012·(2＋ 3)2013－2－ 23－(－ 2)0
＝[(2－ 3)(2＋ 3)]2012·(2＋ 3)－ 3－1 ＝1.