恒成立问题的解题策略

恒成立问题的解题策略

发表时间：2009-12-15T14:29:02.467Z 来源：《中学课程辅导•教学研究》2009年第23期作者：张静芬[导读] 在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。

摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质；二是变量分离。本文对此进行了分析。

关键词：恒成立问题；函数图像；数学

作者简介：张静芬，任教于江苏省常熟市中学。

在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢？函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立；(某函数的定义域为全体实数R；(某不等式的解为一切实数；(某表达式的值恒大于等等…… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等；二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。

一、利用函数图像与性质

例1：对任意恒成立，求的取值范围。

解：令，

本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。

若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。

变式1：对任意恒成立，求的取值范围。

解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像，

得

变式2：若时，恒成立，求的取值范围。

分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于；同理，若在内恒有，则有，

利用的函数图像可知，

变式3：对任意及时，恒成立，求的取值

范围。

分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。

方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即，

在上恒成立，（如变式1）

令，

方法二：若先把看成关于的一次函数，则在上恒成立（如变式2），，则，所以此不等式在上恒成立，二、变量分离

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有恒成立，则。(其中和分别为的最大值和最小值) 例2：已知函数在是增函数，在为减函数，（1）求的表达式；（2）当时，若在内恒成立，求的取值范围。解：（1）函数在是增函数，

在上恒成立，

，在上恒成立，①

函数在是减函数，在上恒成立。

在上恒成立，②

由①②可得，，，

（2）方法一：，

令在上恒成立，

在上单调递减，，

方法二：方法一是采用恒成立，则来解决，也可以利用恒成立；恒成立，

令

在上恒成立，，

例3：已知函数对于总有成立，求实数的值。

方法一：（同例2的方法二）

①当时，不符题意；

②当，在上恒成立，在上单调递减.,不符题意；

③当，在单调递增；在上单调递减。

在的最小值可能是，也可能是，

，且，且，

④当，在上恒成立，在上单调递减，，所以不符题意。

综上所述，。

方法二：（同例2的方法一）

①当时，；

②当时，令

在单调递增，在

在上恒成立，在上单调递减，。

③当时，令

在单调递增，。

综上所述，。

三、存在性问题和恒成立问题的区别和联系

1.存在性问题和恒成立问题的区别

例4：若对于，有解，求的范围。

分析：原不等式可整理成，则存在，有解，是一个存在性问题。存在性问题有如下解法：①在定义域上有解；②在定义域上有解。

解：令，在上恒大于零，在上单调递增，，。

变式：任意，恒成立，求的范围。

解：（由例4可得）因为在上恒成立，所以=。

2.存在性问题和恒成立问题的联系

如例4：令：存在，有解，所以命题是一个存在性问题；

而：任意，恒成立，它是一个恒成立问题. 所以求满足条件的的范围，先可以求满足条件的的范围，再求其补集。

因为：任意，恒成立，所以，，所以满足条件的的范围为。

存在性问题可以与恒成立问题相互转化，存在性问题的反面是恒成立问题，恒成立问题的反面是存在性问题。

综上，恒成立问题的解决主要是以上几种方法，恒成立问题解决有利于函数方面知识的掌握，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

作者单位：江苏省常熟市中学

邮政编码：215500

Problem-solving Strategies for Persistent Formation

Zhang Jingfen

Abstract: In senior high school mathematics teaching, we often meet some problems about persistent formation. Persistent formation can be divided into two types in the process of solving problem: one is utilizing functional image and nature; the other is separation of variable. This paper analyzes these strategies.

Key words: persistent formation problems; functional image; mathematics