第三章 行波法与积分变换法

第三章行波法与积分变换法

在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。

§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）

要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。

对于一维波动方程

22222

u u a t x ∂∂=∂∂ （3.1） 作如下代换：

x at x at ξη=+⎧⎨=-⎩

（3.2） 利用复合函数微分法则，得

u u u u u x x x ξηξηξη

∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 2222222()()2u u u u u x x x

u u u ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂ （3.3）

同理有

2222222222()()[2]u u u u u a a t u u u a ξξηηξη

ξξηη∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂ （3.4）

将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得

20u ξη

∂=∂∂ （3.5） 将（3.5）式对η积分得

()u f ξξ

∂=∂，（()f ξ是ξ的任意可微函数） 在对此式对ξ积分得

212(,)()()()()u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-⎰ （3.6）

其中1f ，2f 都是任意二次连续可微函数。（3.6）式就是方程（3.1）得

通解（包含两个任意函数的解）。

在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数1f ，

2f 的具体形式。为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长先

的自由横振动。设弦的初始状态为已知，即已知定解条件

00(),(),t t u x x u x x t

ϕψ==⎧=-∞<<+∞⎪⎨∂=-∞<<+∞⎪∂⎩ （3.7） 将（3.6）中的函数代入（3.7）中，得

1212()()(), (3.8)()()(), (3.9)

f x f x x af x f x x ϕψ+=⎧⎪⎨''+=⎪⎩ 在（3.9）两端对x 积分一次，得

1201()()()x f x f x d C a

ψξξ-=+⎰ （3.10） 由（3.8）与（3.10）解出1()f x ，2()f x 得

1011()()()222

x C f x x d a ϕψξξ=++⎰ 2011()()()222

x C f x x d a ϕψξξ=--⎰ 把这里确定出来的1()f x ，2()f x 代回到（3.6）中，即得方程（3.1）在条件（3.7）下的解为

11(,)[()()]()22x at x at

u x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰ （3.11） （3.11）式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔（D ’Alembert ）公式。 现在我们来说明达朗贝尔公式的物理意义。由于达朗贝尔公式是由（3.6）得来的，所以我们只需说明（3.6）式的物理意义。 首先，考虑22()u f x at =-的物理意义。我们来说明这样的函数是代表一个沿x 轴正方向转播的行波，为了讲清楚这一点，我们不妨考虑一个特例。假定2()f x 的图形如图3.1（a ）所示，在0t =时，2()u f x =；在1

2t =时，2()2

a u f x =-，其图形如图3.1（

b ）所示；在1t =时，2()u f x a =-，其图形如图3.1（

c ）所示；在2t =时，2(2)u f x a =-，其图形如图3.1

（d ）所示。这些图形说明，随着时间t 的推移，22()u f x at =-的图形

以速度a 向x 轴的正方向移动。所以，

22()u f x at =-表示一个以速度a 向x 轴的正方向传播的行波，称为右行波。同样道理，11()u f x at =+就表示一个以速度a 向x 轴的负方向传播的行波，称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动点总是以行波的形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a 。基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行波法。

从达朗贝尔公式（3.11）还可以看出，解在(,)x t 点的数值仅依赖于x 轴上区间[,]x at x at -+内的初始条件，而与其他点的初始条件无关。区间[,]x at x at -+称为点(,)x t 的依赖区间。它是由过(,)x t 点的两条斜率分别为1a ±的直线在x 轴所截得的区间（图3.2（a ））。

对初始轴0t =上的一个区间12[,]x x ，过点1x 作斜率为

1a 的直线1x x at =+，过点2x 作斜率为1a

-的直线2x x at =-，它们和区间12[,]x x 一起构成一个三角形区域（图3.2（b ）），此三角形区域中任一点(,)x t 的依赖区间都落在区间12[,]x x 的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间12[,]x x 上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个三角形区域称为区间12[,]x x 的决定区域，在12[,]x x 上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题的解。

若过点12,x x 分别作直线1x x at =-，2x x at =+，则经过时间t 后受到区间12[,]x x 上初始扰动影响的区域为

12(0)x at x x at t -≤≤+>，

在此区域之外的波动不受12[,]x x 上初值扰动的影响，称x t -平面上由