微分方程及其分类(§9.1)

例2 已知质点在时刻t的加速度为t2+1，且当t=0时， 速度v=1、距离s=0，求此质点的运动方程。
解：设此质点的运动方程为s=s(t)，则有 s=t 2+1， s(0)=1， s(0)=0。 1 3 2 将 s=t +1 积分一次，得 s= t + t + c1 。 3 1 4 1 2 再积分一次，得 s = t + t + c1t + c 2 。 12 2 由s(0)=1可得c1=1； 由s(0)=0可得c2=0。 1 4 1 2 所以此质点的运动方程为 s = t + t + t 。 12 2
例如，在例2中 >>> 1 4 1 2 1 4 1 2 函数 s = t + t + c1t + c 2 和 s = t + t + t 12 2 12 2 都是微分方程s=t 2+1的解，前者是通解，后者是特解。
初始条件： 用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。 例如，在例1中 >>> y(1)=3是初始条件。 例如，在例2中 >>> s(0)=1，s(0)=0都是初始条件。
通解与特解： 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分 方程的阶数，则此解称为微分方程的通解。在通解中给 予任意常数以确定的值而得到的解称为特解。 例如，在例1中 >>> 函数y=x2+c和y=x2+2都是微分方程 y=2x 解； 函数y=x2+c是微分方程 y=2x 的通解； 函数y=x2+2是微分方程 y=2x 的特解。
求一阶微分方程的特解需要一个初始条件，求二阶 微分方程的特解需要两个初始条件，依此类推。
二、几类简单的微分方程
可分离变量的微分方程： 如果一个一阶微分方程F(x, y, y)=0能写成 g(y)dy=f(x)dx 的形式，那么原方程F(x, y, y)=0就称为可分离变量的微 分方程。 方程g(y)dy=f(x)dx称为变量已分离的微分方程。
一、微分方程的基本概念
微分方程： 定义8.1 分方程。 例1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微
y=2x 是微分方程。
例2 s=t 2+1也是微分方程。 微分方程的阶： 微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方 程的阶。
提问： 方程 y=2x 和 s=t 2+1都是几阶微分方程？
§8.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的基本概念
微分方程 微分方程的解 、 通解与特解 初始条件 、 二、几类简单的微分方程 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 二阶常系数线性微分方程
一、微分方程的基本概念
微分方程： 定义8.1 分方程。 含有未知函数的导数或微分的方程称为微
例1 求过点(1, 3)且切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程是y=y(x)，则根据题意有 y=2x， y(1)=3， 其中y(1)表示x=1时y的值。 y=2x 含有待求函数的导数，是微分方程。
一、微分方程的基本概念
微分方程： 定义8.1 分方程。 例1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微
y=2x 是微分方程。
例2 已知质点在时刻t的加速度为t2+1，且当t=0时， 速度v=1、距离s=0，求此质点的运动方程。 解：设此质点的运动方程为s=s(t)，则有 s=t 2+1， s(0)=1， s(0)=0。 s=t 2+1含有待求函数的导数，是微分方程。
二、几类简单的微分方程
一阶线性微分方程： 形如 y+p(x)y =q(x) 的方程称为一阶线性微分方程。 如果 q(x)0 ，则方程称为一阶线性齐次方程，否则 方程称为一阶线性非齐次方程。 例如：
dy 1 dy y = 0 ，是一阶线性齐次方程。 (x-2) =y dx dx x - 2 y+y cos x=e-sin x ， 是一阶线性非齐次方程。 3 2 2 3x +5x-5y=0 y = x + x ，是一阶线性非齐次方程。 5
二、几类简单的微分方程
二阶常系数线性微分方程：
形如 y+ py+qy=f(x) ( p、q均为常数) 的方程称为二阶常系数线性微分方程。 如果 f(x)0 ，则上述方程称为二阶常系数线性非齐 次微分方程； 如果 f(x)0 ，则上述方程称为二阶常系数线性齐次 微分方程。 例如： y-2y+5y= 0是二阶常系数线性齐次微分方程。 y-2y-3y=3x+1是二阶常系数线性非齐次微分方程。
微分方程的解： 定义8.2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端 恒等，则称此函数为该微分方程的解。 例1 求过点(1, 3)且切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程是y=y(x)，则根据题意有 y=2x， y(1)=3。 在方程 y=2x 的两边求不定积分得 y=x2+c (c为任意常数)。 函数 y=x2+c 就是微分方程y=2x的解。 将 y(1)=3 代入 y=x2+c，求得c=2。 过点(1, 3)且切线斜率为2x的曲线方程为 y=x2+2 。
一、微分方程的基本概念
微分方程： 定义8.1 分方程。 例1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微
y=2x 是微分方程。
例2 s=t 2+1也是微分方程。 常微分方程与偏微分方程： 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。 例如， y=2x 和s=t 2+1都是常微分方程。 未知函数为多元函数，从而出现多元函数的偏导数 的方程，称为偏微分方程。 例如 zxx+zyy=0，yzx-xzy=0都是偏微分方程。
例如：
dy dy 1 2 2 2 =1+x+y +xy =(1+x)(1+y ) dy=(1+x)dx， 2 dx dx 1+ y
是可分离变量方程。
二、几类简单的微分方程
齐次微分方程： 如果一阶微分方程可写成 dy y = f( ) dx x 的形式，则称原方程为齐次微分方程。 例如：
2 dy y y 2 2 - 1 ，是齐次方程。 xy-y- y - x =0 = + 2 dx x x dy x y 2 2 (x +y )dx-xydy=0 = + ，是齐次方程。 dx y x
例如： dy 1 =2xy dy=2xdx，是可分离变量方程。 dx y dv dv dt m = mg-kv = ，是可分离变量方程。 dt mg - kv m
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二、几类简单的微分方程
可分离变量的微分方程： 如果一个一阶微分方程F(x, y, y)=0能写成 g(y)dy=f(x)dx 的形式，那么原方程F(x, y, y)=0就称为可分离变量的微 分方程。 方程g(y)dy=f(x)dx称为变量已分离的微分方程。