【电路 下册】14第十四章

dt
s
推广：L[
d
2f dt
Baidu Nhomakorabea
(t
2
)
]
s[sF (s)
f
(0
)]
f
' (0
)
s2F (s) sf (0 ) f '(0 )
dn f (t) L[ dt n ]
s n F (s)
s n1
f
(0
)
f
n1(0
)
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3.积分性质
若：L[ f (t)] F(s)
则：L[ t f ( )d ] 1 F (s)
本章重点
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重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电
路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
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14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把 时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问 题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微 分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉 氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
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例 一些常用的变换
乘法运算变换
①对数变换 A B AB 为加法运算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
时域的正弦运算 变换为复数运算
相量 I1 I2 I
拉氏变换
对应
f(t)(时域原函数)
F(s)(频域象函数)
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2. 拉氏变换的定义
1.线性性质
若 L[ f1(t)] F1(s) , L[ f2 (t)] F2 (s)
则 L A1 f1(t) A2 f2 (t) A1L f1(t) A2L f2 (t)
A1F1(s) A2F2 (s)
证
L A1 f1(t) A2 f2 (t)
0
A1 f1(t) A2 f2 (t)
(2)单位冲激函数的象函数
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t) estdt 0 (t)estdt
0
0
es0 1
(3)指数函数的象函数 f (t) eat
F(s) L eat
0
eatestdt
s
1
a
e( sa )t
0
1 sa
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14.2 拉普拉斯变换的基本性质
解
F(s)
L[
K
]
-
L
at Ke
K - K Ka
s s a s(s a)
例2 求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s) L sin(ωt)
L
1 2j
(e
j
t
e
j
t
)
1
2
j
s
1
j
1
s
j
s2
2
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2. 微分性质
若： Lf (t) F(s) 利用 udv uv vdu
积分下限从0 积分下限从0 +
开始，称为0 开始，称为0 +
拉氏变换 。 拉氏变换 。
今后讨论的均为0 拉氏变换。
F (s) f (t)estdt 0 f (t)estdt f (t)estdt
0
0
0
②象函数F(s) 存在的条件：
f (t)est dt 0
[0 f(t) =
,0＋]区间 (t)时此项
estdt
0
A1
f1 (t )e st dt
0
A2
f2 (t)estdt
A1F1(s) A2F2 (s)
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结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各 函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求 : f (t) K(1 eat )的象函数
解 dsin(t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cost
]
L1
d dt
(sin(t)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
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(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
L[ (t)] 1
s
L (t) L[d (t)] s 1 0 1
0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f (t)dt 0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
(s) F (s)
s
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例 求 : f (t) t ( t)和f (t) t2 (t)的象函数
解
L t (t)
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
F (s) f (t)estdt
0
f (t)
1
c j F (s)estds
2πj c j
正变换 反变换
简写 F(s) L f (t) ， f (t) L-1 F(s)
s 复频率 s j
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注意
① 积分域
0 00
则：L dfd(tt )
sF(s)
f
(0 )
证
L dfd(tt )
0 0
df (t)estdt dt
estdf (t)
0
est f (t)
f (t)(sest )dt
0
0
f (0 ) sF (s) 若足够大
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例 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t) cos( t)的象函数
L[
(t)dt]
11
1
0
s s s2
L[t 2
(t)]
L[2
t 0
tdt]
2 s3
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4.延迟性质
原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
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3.典型函数的拉氏变换
F (s) f (t)estdt 0
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
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第14章 线性动态电路的 复频域分析
14.1 拉普拉斯变换的定义 14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路
14.6 网络函数的定义 14.7 网络函数的极点和零点 14.8 极点、零点与冲激响应 14.9 极点、零点与频率响应
0
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如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：
f (t) Mect t [0, )
0
f (t)estdt
Me dt
(sc)t
0
M sc
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以
找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。
③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)