2东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--命题及其关系,充分条件,必要条件教师版

x −1 3
≤ 2,q:x 2 − 2X + 1 − m2 ≤ 0(m > 0),
若
p
是
q
的必要
不充分条件，求实数 m 的取值范围。 解:P:-2≤ x ≤ 10; q:1-m≤ x ≤m+1 由题意可知：P 是 q 的充分不必要条件，所以 1 − m < −2 1 + m > 10 所以，{m|3<m<9}
A
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 002A
命题及其关系,充分条件,必要条件(教案)A
一、知识梳理： （阅读教材选修 2-1 第 2 页—第 13 页） 1、 四种命题 （1） 、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若 P,则 q 的形式； （2） 、一般地用 P 或 q 分别表示命题的条件或结论,用 p 或 q 分别表示 P 和 q 的 否定,于是四种命题的形式就是: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题: (3)、四种命题的关系：
两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。 2、 充分条件、必要条件与充要条件 （1） “若 p，则 q”为真命题，记 p q ，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 （2）如果既有 p q ，又有 q p ，记作 p q ，则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件。 3、 判断充分性与必要性的方法： （一） 、定义法
B.必要而不充分条件
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C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由|x-1|<2 得-1<x<3.由 x(x-3)<0 得 0<x<3. 因为“-1<x<3 成立”⇏ “0<x<3 成立”, 但“0<x<3 成立”⇒“-1<x<3 成立”.故选 B. 评析:如果 p⇏q,q⇒p,则 p 是 q 的必要不充分条件. 3.“a=1” 是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文 知识判断这 4 句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假. “红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本 语句是命题; “春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题; “愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题; “此物最相思”是感叹句,故不是命题. 答案:A 2.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( A.充分而不必要条件 )
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（1） 、p ⇒ q 且 q⇏ p ，则 p 是 q 的
充分不必要条件 ；
（2） 、p ⇏ q 且 q ⇒ p ，则 p 是 q 的 必要不充分条件 ； （3） 、p ⇏ q 且 q ⇏ p ，则 p 是 q 的 既不充分也不必要条件 ； （4） 、p ⇒ q 且q ⇒ p ，则 p 是 q 的 充要条件 ； （二） 、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件 p 的 元素构成集合 A，满足条件 q 的元素构成集合 B； （1） 、若 A⊆ B，则 p 是 q 的 充分条件 若B ⊆ A，则 p 是 q 的必要条件; （2） 、若 A= B，则 p 是 q 的充要条件 ； （3 ） 、若 A≠ B，且 A⊆ B，则 p 是 q 的充分不必要条件；q 是 p 的必要不充分条件； （4） 、若 A⊈ B，且B ⊈ A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ； 二、题型探究 探究一：四种命题的关系与命题真假的判断 例 1；设原命题是“已知 p、q、m、n 是实数，若 p=q，m=n，则 p＋m=q＋n”写出它的 逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． 解：逆命题：“已知 p、q、m、n∈R，若 p＋m=q＋n，则 p=q，m=n(假)． 否命题：“已知 p、q、m、n∈R，若 p≠q，m≠n，则 p＋m≠q＋n”(假) 逆否命题：“已知 p、q、m、n∈R，若 p＋m≠q＋n，则 p≠q 或 m≠n”(真) 注:否命题“若 p≠q， m≠n”应理解为“p≠q 或 m≠n”即是指： ①p≠q， 但 m=n， ②p=q 但 m≠n， 而不含 p≠q 且 m≠n． 因为原命题中的条件： “若 p=q， m=n． ”应理解为“若 p=q 且 m=n， ”而这一语句的否定应该是“p≠q 或 m≠n”． 例 2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。 （1）等底等高的两个三角形是全等三角形； （2）若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 解： （1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。真命题； 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。真命题； 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等或不等高。假命题。 （2）逆命题：若 a=0 或 b=0，则 ab=0。真命题； 否命题：若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0.真命题； 逆否命题：若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0。真命题。
解析:当 a=1 时,直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直;当直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直时,有 a=1.故选 C. 评析:如果 p⇒q,q⇒p,则 p 是 q 的充要条件. 4.x <4 的必要不充分条件是( A.-2≤x≤2
பைடு நூலகம்2 2
) C.0<x≤2 D.1<x<3
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相互垂直”的（
A．充分必要条件 C．必要而不充分条件 答案：B； 解析：当 m
1 时两直线斜率乘积为 1 从而可得两直线垂直,当 m 2 时两直线一 2 1 是题目中给出的两条直线 2
条斜率为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 m 垂直的充分但不必要条件。
注：对于两条直线垂直的充要条件① k1 , k2 都存在时 k1.k2 1 ② k1 , k2 中有一个 不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。 探究三：利用充分、必要条件解决待定系数问题 例 4：已知 p： 1 −
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1 ,方程只有一个负 2
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方程只有一个负根。 当 a<0 时，Δ =4（1-a）>0,方程有两个不相等的根，且 一负根。 必要性：若方程 ax +2x+1=0 有且仅有一个负根。 当 a=0 时，适合条件。 当 a≠0 时，方程 ax +2x+1=0 有实根， 则 Δ =4（1-a）≥0，∴a≤1, 当 a=1 时，方程有一个负根 x=-1.
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1 <0,方程有一正 a
a 1 若方程有且仅有一负根，则 1 ∴a<0 0 a
综上方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负根的充要条件为 a≤0 或 a=1 注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必 要性； （2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为 它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下 的两次证明； （3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条 件，哪是结论。 三、方法提升 1、判断命题的真假要以真值表为依据，原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与 否命题是同真同假， 2、判断命题充要条件的三种方法 （1） 、定义法 （2） 、等价法： （3） 、利用集合间的包含关系
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探究二:充分必要条件的判定 例 3： “m
1 ” 是 “直线 (m 2) x 3my 1 0与直线(m 2) x (m 2) y 3 0 2
） B．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
B.-2<x<0
解析:x <4 即为-2<x<2,因为-2<x<2⇒-2≤x≤2,而-2≤x≤2 不能推出-2<x<2,所 以 x <4 的必要不充分条件是-2≤x≤2.选 A. 5.(2011·天津)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f( -x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数 f( x)不是奇函数, 则 f(-x)不是奇函数.”答案:B )
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3、 （1） 条件已知证明结论成立是充分性， 结论已知证明条件成立是必要性；
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（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为 它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下 的两次证明； （3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条 件，哪是结论。 四、思想感悟：
探究四：充要条件的探究与证明
例 5 求证方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a=1.
分析：（1）讨论 a 的不同取值情况； （2）利用根的判别式求 a 的取值范围. 解答：充分性：当 a=0 时，方程变为 2x+1=0,其根为 x= 根； 当 a=1 时，方程为 x +2x+1=0.其根为 x=-1,
。 五、课后作业： 一､ 选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括 号内.) 1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的 《相思》诗,在这 4 句诗中,哪句可作为命题(A ) A.红豆生南国 C.愿君多采撷 B.春来发几枝 D.此物最相思