管理学线性规划的图解法与单纯形解法

存在唯一最优解。如上例。 存在无穷多个最优解。 如在上例中，将目标函数改为max z=3x1+x2,这时Q1 与Q2以 及Q1 与Q2之间的所有点均为最优解。 存在无界解（有可行解但无有界最优解）。 如在上例中，只含有x2 ≤3一个约束，可行域为无界，z的 取值可无穷大。 无解或无可行解。如下述线性规划问题 max z=2 x1+x2 x1+x2≤2 -x1+x2≥5 x1，x2≥0， 约束条件矛盾，因而无可行解。
T
对于一切 j=m+1,…,n,有检验数 j≤0,则 X(0)为最优解。

定理2 有无穷多最优解的判别定理
, 若 X (0) b1, b2 ,0, , bm ,0 为对应于基 B 的一个基可行解，
T
对于一切 j=m+1,…,n,有检验数 j≤0, 且存在某个非基变量对 应的检验数 m+k=0, 则该线性规划问题有无穷多个最优解。
线性规划问题的图解法举例
x2
max z =2 x1+x2
3x1+x2 ≤12 x1+x2 ≤5 x2 ≤3 x1，x2 ≥0
4
Q4
3
Q3
x2 =3
可行域为 O Q 1 Q2 Q 3 Q 4
N
2
Q2 (3.5,1.5)
1
x1+x2=5 4Q1 5 x1
O
1
2
3
目标函数线 z=0
3x1+x2=12
线性规划问题求解的几种可能结局

由图解法得到的启示

线性规划问题求解的基本依据是：线性规划问题的最优 解总可在可行域的顶点中寻找。寻找线性规划问题的最 优解只需比较有限个顶点处的目标函数值。 线性规划问题求解时可能出现四种结局：唯一最优解、 无穷多个最优解、无有界解、无解或无可行解。 如果某一线性规划问题有最优解，我们可以按照这样的 思路来求解：先找可行域中的一个顶点，计算顶点处的 目标函数值，然后判别是否有其它顶点处的目标函数值 比这个顶点处的目标函数值更大，如有，转到新的顶点， 重复上述过程，直到找不到使目标函数值更大的新顶点 为止。
再令
j cj z j
称为检验数。
n
j m 1,, n
z z0
j m 1

j
xj
在线性规划模型中，可以用检验数 j 替代目标函 数中的价值系数cj。
最优解的判别定理

定理1 最优解的判别定理
若X
(0)
, b1, b2
,0, , bm
,0 为对应于基 B 的一个基可行解，
寻找改进的基可行解

当检验某个基可行解不是最优、也非无界，那么就 应该从该顶点（基可行解）处出发，寻找一个新的 能使目标函数值改进的相邻顶点（基可行解）。 注：称两个基可行解为相邻的，是指它们之间变换 且仅变换一个基变量。

具体的方法是：在基变量中，选出一个，让它变为 非基变量；同时，从非基变量中，选出一个，让它 变为基变量，从而构造一个新基。 我们希望：每变换一次，就得到一个新的基可行解， 并且是尽可能使目标函数值改进的基可行解。

换入变量的确定
z z0
j m 1

n
j
xj
假定存在一个 mk 为换入变量。
0,
我们取
xmk
如果存在多个σj >0, 则取
m k max j | j 0
j
换出变量的确定
设换入新基的变量 xm k 取值(≥0) ,其余的非基变量 仍取值为 0。令 (1) xm k
确定初始的基可行解

标准型的线性规划问题
max z CX n Pj x j b j 1 X 0
系数矩阵中存在一个单位阵
1 0 0 0 0 1 0 0 (P 1, P 2 , P m) 0 0 0 1
以单位阵为一初始可行基。令非基变量取值为零， 便得到一基可行解。
最优性检验和解的判别
对标准型的一般线性规划问题，经过变换、迭代总 可将线性规划约束条件中非基变量移至。方程右边， 得如下形式：
xi bi
j m 1
a x
ij
n
j
i 1, 2,
,m
最优性检验和解的判别
将上式代入目标函数式中，整理得

线性规划单纯形解法的原理

单纯形方法的基本思想 从可行域中的一个基可行解出发，判别它是否已经 是最优解，如不是，寻找下一个基可行解，并且同 时努力使目标函数得到改进，如此迭代下去，直到 找到最优解或判定问题无解为止。

单纯形算法必须解决三个方面的问题： 1. 如何确定初始的基可行解？ 2. 如何进行解的最优性判别？ 3. 如何寻找改进的基可行解？
线性规划的图解法与单纯形解法

线性规划问题的图解法
线性规划单纯形解法的原理 线性规划单纯形解法的计算步骤


单纯形法计算的矩阵描述
线性规划单纯形求解的大M法 线性规划单纯形求解的两阶段法 线性规划单纯形求解可能的循环现象 线性规划单纯形法的改进
线性规划问题的图解法

图解法，就是用作图的方法求解线性规划问题。 简单、直观的图解法一般只适用于具有两个决策变量的线性 规划问题。 用图解法求解实际线性规划问题，一般按照如下基本步骤： Step1 画直坐标系； Step2 根据约束条件画出可行域； Step3 画过坐标原点的目标函数线； Step4 确定目标函数值的增大方向(目标函数线法线方向) Step5 目标函数线沿着增大方向平行移动，与可行域相交且 有最大目标函数值的顶点，即为线性规划问题的最优解。
z ci bi
i 1
m
j m 1
(c c a ) x
j i 1 i ij
n
m
j
令 z 0 ci bi
i 1
m
, z j ci aij
i 1
m
j m 1,, n
z z0
j m 1
(c
n
j
来自百度文库
z j )x j
最优性检验和解的判别
最优解的判别定理

定理3 有无界解的判别定理
(0)
若X
, b1, b2
,0, , bm
,0 为对应于基 B 的一个
T
基可行解，存在某个非基变量对应的检验数
m+k>0,
并且对应的变量系数 ai, m k ≤0，i=1,2, ,…,m, 则该线 性规划问题有无界解（或无有界最优解） 。