那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
)
`()
`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--
Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、 积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ
Ps ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ
证明：设⎰
=
x
a
dx x f x F )()(，],[b a x ∈
因为)(x f 在闭区间上连续，则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为)(x f ）。
则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：
),(b a ∈∃ξ使得a
b dx x f a
b a F b F F b
a
-=--=
⎰
)()
()()`(ξ
而)()`(ξξf F = 所以),(b a ∈∃ξ使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ。
在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。
定理运用：
1、设)(x f 在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且⎰
+==2
)3()2()()0(2f f dx x f f .
证明：(1))2,0(∈∃η使)0()(f f =η
(2))3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf
证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。 （1）、令
]2,0[),()(0
∈=⎰
x x F dt t f x
则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导.
则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：
2
)
0()2()`()2,0(F F F -=
∈∃ηη使
)2,0(),0(2
)()(2
∈==
∴⎰ηηf dt t f f
(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，
)3()2()0(2f f f +=，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：
]3,0[)(在x f 上连续，则在]3,2[上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，
分别设为M,m;
则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤ 从而，M f f m ≤+≤
2
)
3()2(，那么由介值定理就有：
)0(2
)
3()2()(],3,2[f f f c f c =+=∈∃使
]3,2[),2,0(),()()0(∈∈==∴c c f f f ηη
则有罗尔定理可知：
0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ，0)`(),,(22=∈∃ξηξf c 0)``(),3,0(),(21=⊆∈∃ξξξξf
Ps ：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、
1)`()`(),1,0()2(=⋅∈∃ηξξηf f 使得、两个不同点、 本题第一问较简单，用零点定理证明即可。
（1）、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F
1
)1()1(11)0()0(==-=-=f F f F
01)1()0(<-=⋅F F
由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得
(2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。在想想高数定理中的就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没
