用导数工具求解数列问题

用导数工具求解数列问题

作者：李觉友

来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第06期

摘要：本文以两道2013年高考试题来探讨如何用导数工具解决数列问题.

关键词：数列；导数

？摇数列是高中数学必修的5个模块内容之一，也是高等数学的基础，所以数列是每年高考数学的重要考查内容. 《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）对高中数列的教学内容与要求是“了解数列是一种特殊函数；理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系”. 因此，高考试题重点考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式等知识点.

数列是定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，是一类特殊的函数. 因此，许多数列问题可以用函数思想、观点和性质来解决，从而基于函数思想研究和解决数列问题十分有意义. 函数思想是中学数学的一种基本的数学思想，它应用广泛，贯穿于整个高中数学. 对比数列，函数有许多好的性质，如函数连续性、可导性等. 函数的导数，作为高中数学的新增内容之一，为解题、教学和教研注入了新的活力，更是研究函数的单调性、极值和最值等问题的有力工具. 由于数列可看作是特殊的函数，所以我们自然而然就想到要用函数导数这个新的工具来解决有关数列问题.

例1 （2013安徽卷·理20）设函数fn（x）=-1+x+■+■+…+■（x∈R，n∈N*）.

证明：（1）对每个n∈N*，存在唯一的xn∈■，1，满足fn（xn）=0；

（2）对任意的p∈N*，由（1）中xn构成的数列{xn}满足0

解答：（1）因为对任意的x∈R和n∈N*，有f ′n（x）=1+■+■+…+■.

所以当x>0时，有f ′n（x）>0. 故fn（x）在（0，+∞）是严格增函数.

由于f1（1）=0和fn（1）>0，n≥2，所以

fn■=-1+■+■+■+…+■≤-■+■+■+…+■=-■+■·■= -■■■

所以存在唯一的点xn∈■，1，满足fn（x）=0.

（2）根据fn（x）的表达式，当x>0时，有fn+1（x）=fn（x）+■>fn（x），结合（1）有fn+1（xn）>fn（xn）=0=fn+1（xn+1）.

又因为fn（x）在（0，+∞）是严格增函数，所以xn>xn+1. 故{xn}是严格单调数列，从而对任意的n，p∈N*，有1≥xn>xn+p>0.

由（1）知，对任意的n，p∈N*有

f■（x■）=-1+x■+■+…+■=0，？摇？摇①

fn+p（xn+p）=-1+xn+p+■+…+■+■+…+■=0，？摇？摇？摇？摇②

利用①-②和1≥xn>xn+p>0得，

xn-xn+p=■+…+■+■+…+■？摇≤■+…+■

综上，对任意的p∈N*，都有0

评析：本题以通项为xn与■乘积的数列的前n项和构造一个函数fn（x），显然这是以高等数学知识为背景，将数列与函数融为一体，解决函数的零点问题利用数列求和，解决数列的单调性需要用到函数的导数；由于函数的表达式是数列前n项和形式，所以求函数值的范围就是求数列前n项和的范围. 将第（1）问中求和的数列放缩成等比数列，将第（2）问中求和的数列放缩成可倍差求和的数列，进而求出函数值的范围，足以看出本题数列和函数及其导数结合的深度和广度. 试题考查了转化和归纳能力、综合运用知识和解决问题能力、推理论证能力，数列求和则考查了运算求解能力，试题颇有深度和难度.

在教学中，我们经常强调，立足函数观点，数列可以看做是定义域为正整数集上的一类特殊函数，因此在解决数列问题时，常用函数的性质去分析. 当然，如果能将数列与函数有机地结合起来，这对解决数列问题有极大帮助，比如例1. 但是数列自身也有其特殊性，与函数是有区别的，如果不去关注这些区别就会导致错误，学生用导数处理数列问题经常出现的错误就是忽视数列具有离散型的特征.

例2 （2013新课程全国Ⅱ卷·理16）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，

S15=25，求nSn的最小值.

错解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得

10a1+■d=0，15a1+■d=25，解得a1=-3，d=■. 故nSn=nna1+■d=■-■. 设f（n）=nSn=■-■，则f ′（n）=n2-■. 令f ′（n）=0，解得n=0（舍去）或n=■. 当n>■时， f（n）是单调递增的；当0

分析：结果是正确的，但是部分解题过程是错误的.因为导数是定义在连续函数基础上

的，而对于n∈N*， f（n）是离散函数，不存在导数，从而不能对其求导. 究其原因是未能吃透函数导数的本质含义，未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和区别. 例2要利用导数判别数列的单调性，一定要转化成函数去判断，同时要注意数列的定义域是正整数这一特点.

正解：按照上面同样步骤解得nSn=■-■.设f（x）=■-■，x>0，则f ′（x）=x2-■. 令f ′

（x）=0，解得x=■. 当x>■时， f（x）是单调递增的；当 0

评析：当学生通过解方程发现nSn的解析式为三次式时，学生马上能够想到以函数的导数为工具，研究数列的单调性和最值性，这样本题就较容易解决. 但如果利用数列的单调性nSn≤（n+1）Sn+1，nSn≤（n-1）Sn-1，解不等组，不仅运算量大，而且人为增加了试题难度，这是不可取的. 另外本题也考查了学生对“数列是特殊的函数”的理解，即项数n必须取正整数.

综上所述，数列是特殊的离散函数，以函数思想为指导，数列知识为工具来考查数列问题一直是高考试题背后的立意之一. 那么，在数列问题解题过程中，我们应当立足函数观点，借用函数导数这个强有力的工具去讨论和研究数列，但要充分考虑数列自身的特殊性，比如定义域是正整数集.如果将数列问题简单地函数化，则容易出现上述例2的错误.