1.1.3.2集合的基本运算 第二课时 补集

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法二：可用 Venn 图表示
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
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[规律方法]
(1)如果所给集合是有限集， 则先把集合中的
元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，另外针对 此类问题，在解答过程中也常常借助于 Venn 图来求解．这样 处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)在解答有关集合补集运算时， 如果所给集合是无限集， 则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然 后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过 程中注意边界问题.
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集合与函数概念
第一章
1.1 集 合
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1．1.3 集合的基本运算
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第 2 课时 补 集
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课前自主预习
名师辩误做答 方法警示探究
思路方法技巧
课堂基础巩固
建模应用引路
课后强化作业
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(3)因为实数与数轴上的点一一对应，则在数轴上分析 A 及∁UA，一目了然，如下图所示．
(4)整数按除以 3 的余数可分成三类： 被 3 整除的数 x＝3k， k∈Z；被 3 除余 1 的数 x＝3k＋1，k∈Z；被 3 除余 2 的数 x ＝3k－1，k∈Z.
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总结评述： 解决这类问题一要注意数形结合， 以形定数， 才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误，不然 功亏一篑．
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已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝ {1,4,6}，求集合 B.
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(4)已知 U＝{x|x 是实数}，Q＝{x|x 是有理数}，则∁UQ＝ ________. (5)已知 U＝R，A＝{x|x>15}，则∁UA＝________. (6)已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则 ∁U(A∩B)＝( A．{2,3} C．{4,5} ) B．{1,4,5} D．{1,5}
[分析]
由补集的意义可知 A 与∁UA 都是 U 的子集， 且A
与∁UA 的元素互不相同，从而列式求解．
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[ 解 析 ]
由 已 知 ， 得
|a＋1|＝3， 2 a ＋2a－3＝a＋3，
或
2 |a＋1|＝a ＋2a－3， a＋3＝3.
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温故知新 1．若 A⊆B，则 A∪B＝ B ，A∩B＝ A . 2．若 A∩B＝B 则 B ⊆ A，若 A∪B＝B 则 A ⊆ B. 3．若 A∪B＝A∩B，则 A ＝ B. 4．(2012· 全国高考数学江苏卷)已知集合 A＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则 A∪B＝________.
[分析]
(1)由补集的定义，只需在集 U 中将 A 中元素去
掉，剩下元素构成的集合就是∁UA. (2)至少有一组对边平行的四边形包括两组对边分别平行 的四边形和有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形， 即平行四边形和梯形，可由此入手解题．
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[答案]
(1){4,5,6,7,8}
{1,2,7,8}
(2){0} (6)B
(3){2,4,6}
∅
U (4){x|x 是无理数}
(5){x|x≤15}
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[解析]
解得 a＝2， ∴a 的值为 2.
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[点评] 行分析.
注意根据 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝Ø 这个性质进
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命题方向 3 交集、并集、补集的综合运算
[ 例 3]
[解析]
(1)∵A⊆B，如图(1)．
∴a≥3，而∁RB＝{x|x≥a}，∁RA＝{x|x≥3}． ∴∁RB⊆∁RA.即∁RB⊆∁RA 成立．
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(2)如图(2)，
∵∁RA＝{x|x≥3}，∁RB＝{x|x≥a}， ∵∁RA⊆∁RB，∴a≤3. 故所求 a 的取值范围为{a|a≤3}．
(6)∵A∩B＝{2,3}，
∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．
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思路方法技巧
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命题方向 1 补集概念的理解
[例 1] 求∁UA.
在下列各组集合中，U 为全集，A 为 U 的子集，
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补集符号∁UA有三层含义： (1)A 是 U 的一个子集，即 A⊆U； (2)∁UA 表示一个集合，且∁UA⊆U； (3)∁UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合， 即∁UA ＝{x|x∈U，且 x∉A}，故 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝Ø. 补集的性质∁UØ＝ U ，∁UU＝ Ø ，∁U(∁UA)＝ A . 用适当的集合填空：
少有一个元素为 5，从而 A 中其余元素可以是集合{1,3}的子 集的元素．而{1,3}有 4 个子集，因此满足条件的 A 的个数是 4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故选 D.
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新课引入 如果你所在班级共有 60 名同学，要求你从中选出 56 名 同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？ 你不可能直接去找张三、李四、王五、„„一一确定出 谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情， 可就麻烦多了． 若 确定出 4 位不参加比赛的同学，剩下的 56 名同学都参加，问 题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这 节内容(补集)的现实基础．
(1)U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,5}； (2)已知全集 U＝{x|x 是至少有一组对边平行的四边形}， A＝{x|x 是平行四边形}； (3)U＝R，A＝{x|－1≤x＜2}； (4)U＝Z，A＝{x|x＝3k，k∈Z}．
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[解析]
U＝{1,3,5,7,2,4,6}，B＝{2,3,5,7}．
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已知集合 U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，∁UA＝{a ＋3}，求实数 a 的值．
[答案] 2
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设 U＝{x|－5≤x<－2，或 2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x －15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB. [思路点拨] 先确定集合 U、集合 A 的元素，再依据补集 定义求解．
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[答案]
{1,2,4,6}
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[解析]
由己知，集合 A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，所以 A
∪B＝{1,2,4,6}．
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5．设 P＝{m|m＝2n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝k＋2，k∈Z}， 那么 P∩Q 等于( A．Ø C．Q
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[解析]
法一：在集合 U 中，
∵x∈Z，则 x 的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又 A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
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自主预习 1．全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 所有元素，那么就称这个集合为 全集 ，用字母 U 表示．
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2．补集 如果 A 是全集 U 的一个子集， 由 U 中所有不属于 A 的元 素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集 ，记作∁UA.用描述法表 ．． 示为 {x|x∈U 且 x∉A} ，用 Venn 图表示为 .
已知 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ， A ＝ {3,4,5} ， B ＝
{4,7,8}，求 A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪ B.
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[方法导引]
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[解析]
(1)∁UA＝{1,3,6}；
(2)∁UA＝{x|x 是梯形}； (3)如上图所示，∁UA＝{x|x＜－1，或 x≥2}； (4)∁UA＝{x|x＝3k± 1，k∈Z}．
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总结评述：(1)要准确理解补集的含义：是由全集中所 有不属于 A 的元素组成的集合． (2)利用数轴可以直观形象地反映问题，另外要注意分界 点的取值，如本题中∁UA 中含有 2，不含－1. (3)求补集时， 首先要正确理解全集及子集中所含的元素， 找出其联系与差异，然后准确写出补集．
[解析]
解法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}
∵∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}， (∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 解法二：A∩B，A∪B，A∩(∁UB)求法同解法一． (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{1,2,6}， (∁U)∪B＝∁U(A∩(∁UB))＝{1,2,4,6,7,8}．
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∅ ∅ ∅
∅ A ∅
∅ ∅
∁UA
∅ A
∁UA
A A U
∁UA
U
∁UA
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通过以上所学，完成下列练习． (1)如果 S＝{x|x 是小于 9 的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝ {3,4,5,6}，那么∁SA＝__________，∁SB＝________. (2)如果全集 U＝N，那么 N*的补集∁UN*＝________. (3)已知 U＝{1,2,3,4,5,6}， A＝{1,3,5}， 则∁UA＝________， A∩∁UA＝________，A∪∁UA＝________.
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命题方向 2 补集的性质及应用
[例 2]
已知 A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若 A⊆B，问∁RB⊆∁RA 是否成立？ (2)若∁RA⊆∁RB，求 a 的取值范围．
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[答案] B
) B．P D．Z
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6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合 A 的个数是( A．1 C．3 B．2 D．4
)
[答案]
D
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[解析]
由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知 A⊆{1,3,5}，且 A 中至