正弦交流电路中的R、L、C特性

U i R
？
u i ？ R
在电感电路中：
正误判断
u i L
u i XL
？
U I L
？
？
U XL I
U jL I
？
？
3-5 R-L-C串、并联交流电路 3-5.1 R-L-C串联交流电路
（一） 电流、电压的关系：
i
R
u uR uL uC
若
uR
U
领先！ U
I
u、i 相位不一致 ！
u iL ？
关于感抗的讨论
感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XL ω
+ _
UL I X L
R
ω =0时
L XL = 0 直流
R
+ _
e
E
电感电路中的功率
1. 瞬时功率 p ： i

1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先
i
90 °）
u i
90
t
IL
U
I
I
u 2 I L sin( t 90 )

2 U sin( t 90 )

3. 有效值
U IL
X L L
U I XL
感抗（Ω ）
定义：
则：
4. 相量关系
i 2I sin t u 2 U sin( t 90 )
3-4 R、L、C元件的正弦交流电路 3-4 .1电阻元件的交流电路
根据 欧姆定律
u
i
R
u iR
设 u 2 U sin t
u U 则 i 2 sin t 2 I sin t R R
电阻电路中电流、电压的关系
u 2 U sin t u U i 2 sin t 2 I sin t R R
U Z I
u i
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
（２） Z 和电路性质的关系
Z Z R j X L X C
阻抗角
1 X L X C u i tg R
一定时电
路性质由参 数决定
不能！与频率ω有关
1 X L L 、 X C C
当ω不同时，可能出现：
XL > XC ，或 XL < XC , 或 XL =XC 。

（３）阻抗（Z）三角形
Z R j( X L X C ) Z
阻抗
Z R (X L XC )
2
2
三角形
X L XC tg R
电容电路中电流、电压的关系
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )

1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 落后
i 90° ）
u
i
I
UC
90
t
U
U
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )

I
1 I 3. 有效值 I U C 或 U C
设：
I I0 U U90 I L90
U
U U 则： 90 L90 I I j 90 I L e ( jX ) U I L
I
电感电路中欧姆定律的相量形式
U I j XL
其中含有幅度和相位信息
定义：
1 XC C
容抗（Ω ）
则：
U I XC
4. 相量关系
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 ) U0 设： U I I90 U C90

I
U 1 则： 90 C I
U
1 X U I 90 jI C C
p i u UI sin 2t
Q U I I XL U
2 2
XL
Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)
3-4.3 电容元件的交流电路 基本关系式: i u
设： u
则：
C
du iC dt
2U sin t
du iC 2UC cos t dt 2U C sin(t 90 )
电容电路中欧姆定律的相量形式
I j X U C
I
其中含有幅度和相位信息
领先！ I
U
关于容抗的讨论
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦 波有效。
1 容抗 （X C ） 是频率的函数， 表示电容 C
1 Xc C
+ -e
C断路
ω＝0 时
ω
+ -E
Xc
1
Z

R
X X L XC
（４）阻抗三角形和电压三角形的关系
U U U U R L C R j X X I L C
电压三 角形
Z R j X L X C
U L
相 似

U C
UR
U U U L C I
直流
电容电路中的功率
1. 瞬时功率 p
i u
i 2 I sin t u 2U sin(t 90 )

p i u U I sin2t
p i u U I sin2t
i u
ωt
i u p
放电
i u P>0
充电
i u
放电
i u
P<0
释放 能量
充电
t
储存 能量
2. 平均功率 P
p i u U I sin2t
1 T P Pdt T 0 1 T U I sin2t 0 T 0
3. 无功功率 Q
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
p UI sin 2t
Q UI
（电容性无功取负值）
例 求电容电路中的电流
i
2 2
p u i Ri u / R
小写
p u i Ri u / R
2 2
i
u
ωt
结论：
1. 2. 3.
p
p 0 （耗能元件） p 随时间变化
ωt
p 与 u 2、i 2 成比例
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
i
R
2 I sin t 2 U sin t
uL
i 2 I sin t
u
L
C
则 u
2 IRsin t

uC
2 I (L) sin(t 90 ) 1 2 I ( ) sin(t 90 ) c
相量模型 I
R
相量方程式：
U U U U R L C
设
U R
U L
I0 （参考相量） I
u
C
已知： C ＝1μF
求：I 、i 解：X C
u 70.7 2sin(314 t ) 6
1 1 3180 6 C 314 10

电流有效值
U 70.7 I 22 . 2 mA X C 3180
电流有效值
瞬时值
U 70.7 I 22 . 2 mA X C 3180
储存 能量 释放 能量
t
2. 平均功率 P （有功功率）
p i u UI sin 2t
1 T P p dt T 0 1 T U I sin (2t ) dt 0 T 0
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐）。
3. 无功功率 Q
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
du iC dt
U
di uL dt
电路参数
C
基本关系
1 复阻抗 jX C j C
2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
、I 表示， 在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U
电路参数用复数阻抗（ R R、L jX L、C jX C ) 表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方 法都能用。
复数形式的欧姆定律
I R U
电阻电路
U I ( j X C ) U I( j XL)
电感电路 电容电路
3.简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏
定律。
i
R
u
L
uR
u uR uL di iR L dt
uL
阻抗三 角形
Z

X X L XC
1. 频率相同 2. 相位相同
U U 0
3. 有效值关系：U
4. 相量关系：设
IR
则
U I 0 R
I
U
或
I R U
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i u
R
i 2 I sin ( t ) u 2 U sin ( t )
R
-- 相量图
电压三角形
U R
U L U U L C
U
U
L
U L
U C

U C
U R
I
C
先画出参 考相量
UL UC t g U IR jXL XC UR
1
相量表达式：
R-L-C串联交流电路中的
复数形式欧姆定律
I R j X X U L C
当
X L XC
L
时，
0 表示 u 领先 i －－电路呈感性
表示 u 落后 i －－电路呈容性
当X
X C 时， 0
当 X L X C 时，
0表示 u 、i同相 －－电路呈电阻性
I
R
U R
U
L C
U L
U C
假设R、L、C已定， 电路性质能否确定？ （阻性？感性？容性？）
i
2 22.2sin(314 t 2 22.2sin(314 t

6 3
i 领先于 u 90°


2
)
) mA
I
相量图

3

6
U
小 结
1.
电路参数
单一参数电路中的基本关系
R
基本关系 复阻抗
u iR
R
I
U
U
I I
电路参数
L
基本关系
复阻抗
jX L j L
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏
定律
I R
L
U
U R U L
U L
U
I
U R
I R、 U I jX U R L L U U I （R jX ) U R L L
正误判断
在电阻电路中：
wenku.baidu.com瞬时值 有效值
U I ？ R
i 2 I sin t
L
u
u 2 U sin(t 90 )

p i u 2UI sin t cos t UI sin 2t
i u L
p i u UI sin 2t
u
i u u
i
t
i u
i
u
i
p
+
可逆的 能量转换 过程
P <0
+
P >0
P <0
P >0
是一个运算工具。
U
L C
U L
U C
I Z U
在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示, 元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形 式与直流电路相似。
（二）
关于复数阻抗 Z 的讨论
由复数形式的欧姆定律
（１）Z和总电流、总电压的关系
I Z U
可得：
U U U u Z Z u i I I I i
u
u
1 T 1 T P p dt u i dt T 0 T 0 1 T 2 P U I 大写 2 UI sin t dt T 0 1 T UI (1 cos2 t )dt UI T 0
3-4.2 电感元件的交流电路
基本关系式：
di uL dt
U
L C
I R 则 U R
U C
I jX U L L I jX U C C
总电压与总电流 的关系式
I R I jX I jX U L C R j X X I
L C
R-L-C串联交流电路
I
令 R
I
Z R j X L X C
实部为阻
U R
U
感抗
容抗
L C
U L
U C
Z：复数阻抗
虚部为抗
则
U IZ
复数形式的 欧姆定律
说明：

Z R j X L X C
是一个复数，但并不是正弦交流
I
R
Z
量，上面不能加点。Z在方程式中只
U R
i
u
L
设
则
i
2 I sin t
di uL 2 I L cost dt 2 I L sin(t 90 ) 2 U sin(t 90 )

电感电路中电流、电压的关系
设：
i 2I sin t
u 2 I L sin( t 90 )

2 U sin( t 90 )