高中数学人教版必修三角函数的图像与性质(学案)有答案

1．4三角函数的图象与性质

学习目标

1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程，提高动手能力；

2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用；3.三角函数图象和图象的应用； 自主梳理

1． 正弦函数（或余弦函数）的概念

任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数x y sin =（或x y cos =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为 。 2． 正弦曲线或余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 。 3． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

（1）正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。 （2）余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。 预习检测 1、函数)

3

sin(π

+=x y 的定义域为____________________；值域为____________________； 2、函数

)

3

cos(2π

-=x y 的定义域为__________________；值域为____________________；

问题探究2： 【例】已知

]2

3

,2[ππ-

∈x ，解不等式

2

3sin -

≥x ；【变式】已知R x ∈，解不等式

2

3

sin -

≥x ；

问题探究3：

【例】求下列函数的值域： 1.x x y sin |sin |+= 2.]

6

,6[),32sin(2π

ππ-∈+=x x y 3.

1

cos 2

cos --=

x x y

【变式】求函数

]

,3

[,1sin 4sin 32ππ

∈+-=x x x y 的值域；

问题探究4： 【例】（1）讨论方程x x sin lg =解的个数；

（2）若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围； 【变式】当k 为何值时，方程k x x =+|sin |2sin 有一解、三解、四解？ 课堂练习

1、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是 （ ） A ． Z k k ∈),0,(π B

Z

k k ∈+

),1,2

2(ππ C

Z

k k k ∈-+

),)1(,2

(π

π D

Z

k k k ∈-+

),2

)1(,

4(ππ

2、下面有四个判断：

① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称；

④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。其中正确的有 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3、与图中曲线对应的函数是 （ ） A x y sin = B x y sin = C x y sin -= D x y sin -= 4、在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ） A )4

5,()2,4(ππππ

B

)

,4

(ππ

C

)4

5,4(ππ D )2

3,45(),4(π

πππ

反思总结：

1、这节课你学到了哪些知识和解题方法；2.这节课你学到了哪些数学思想方法？3.你还有哪些收获？

选作：函数)(x f y =的图象与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积成为函数)(x f 在],[b a 上的面积，已知函数nx y sin =在],0[n

π

上的面

积为+

∈N n n

,2

，则（1）函数x y 3sin =在

]3

2,

0[π上的面积为____________；（2）函数1)3sin(+-=πx y 在]3

4,3[π

π

上的面积为____________；

1．4三角函数的图象与性质

自主梳理1.R 2、正弦曲线 余弦曲线 3、（1）)0,0(、)

1,2

(π、)0,(π、

)1,2

3(

-π、)0,2(π（2）)1,0(、

)0,2

(π

、)1,(-π、)

0,23(π、)1,2(π

预习检测1.R ]11[，- 2、R ]

22[，-

问题探究2：【例】

]

34,

3[ππ-

【变式】

Z k k k ∈+

-

],3

42,3

2[π

πππ

问题探究3：【例】（1）]2,0[ （2）]2,0[ （3）)

,2

3[+∞ 【变式】]1,3

1[- 问题探究4：【例】（1）3个

（2）31<

三解：10==k k 或

四解：10<

课堂练习 1、D 2、C 3、B 4、C 选作：3

4

3

2+

π

1.4.2 正、余弦函数的性质（一）

学习目标

1、理解周期和周期函数的概念，掌握正弦函数、余弦函数的周期性；

2、掌握证明或求解函数周期的基本方法；

3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质，培养数形结合的能力； 自主预习

1.周期函数的定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。若函数)(x f 的周期为T ，则 也是)(x f 的周期。即0,),(...)2()()(≠∈+=+=+=k Z k kT x f T x f T x f x f

2.正弦函数R x x y ∈=,sin 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是 ；

3.正弦函数R x x y ∈=,cos 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期是 ；

4.函数,),sin(R x x A y ∈+=ϕω（其中ϕω,,A 为常数，且0,0>≠ωA ）是周期函数，它的最小正周期T = ；

5.函数,),cos(R x x A y ∈+=ϕω（其中ϕω,,A 为常数，且0,0>≠ωA ）是周期函数，它的最小正周期T = ； 预习检测：

1、函数x y 2sin 2=的最小正周期为____________； 2.函数3

2

1

cos 2+=x y 的最小正周期为____________；

互动探究 问题探究1：

【例】（1）下列函数中，周期为2

π的是 （ ）

A

2

sin

x y = B x y 2sin = C

4

cos

x y = D x y 4cos =

（2）函数)sin(π+=ax y （0≠a ）的周期为 【变式】 （1）函数

)

6

52cos(3π

-=x y 的最小正周期是 （ ）

A π

5

2 B π

2

5 C π2 D π5

（2）函数

x

x y tan sin =

的周期是

问题研究2：

【例】 作出下列函数的图象，并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数，说出其最小正周期。 （1）x y sin = （2）x y sin = 【变式】 求函数

|

)6

2cos(|π

+=x y 的最小正周期；