15.3期末复习(第12章数的开方)

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8．非负数 正数和零 统称为非负数． 定义： 我们已经学过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a的 绝对值 是非负数，即 |a| ≥0； 2n (2)任何一个实数a的 偶次方 是非负数，即 a ≥0； (3)任何一个非负数a的算术平方根 是非负数，即 a ≥0. 非负数有以下性质： (1)非负数有最小值零； (2)非负数之和仍然是非负数； (3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
-a a
(3)0的平方根和立方根都是 0
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2.开平方与开立方 求一个非负数a的平方根 的运算，叫做开平方．其 中a叫做被开方数 . 求一个数a的立方根 的运算，叫做开立方．其中a 叫做被开方数 . 立方 都分别互为逆运 开平方与 平方 、开立方与 算． [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术 平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平 方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关 系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方 根(立方根)．
2．用计算器计算 0.000064， 0.064， 64， 64000，你能 发现什么规律？
3
3
3
3
解： 0.0000 64＝0.04， 0.064＝0.4， 64＝4， 64000＝40. 被开立方数的小数点每向右(或向左)移动 3 位，其立方根的小数 点相应地向右(或向左)移动 1 位．
3
3
3
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考点六
实数的运算
计算：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16.
解：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16 ＝3＋(－8)－9－1＋4 ＝3－8－9－1＋4 ＝－11.
方法技巧 在进行实数的综合运算时，要搞清运算种类、确定运 算顺序、认真细心运算，如果能用运算律时莫忘用运算律简 化计算．
易错警示 正数有两个平方根，有一个正的算术平方根，要审清题 意，并注意书写的正确及规范．
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例3 A．4
(1)64的立方根是( A ) B．－4 C．8 D．－8
(2)
3
－2 －8等于________．
3
[解析] (1)任何数的立方根只有一个，由 4 ＝64 易知 64＝ 4.(2) 3 －8表示－8 的立方根，根据立方根的定义可直接求解．
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如图11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上， 以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是( D )
图11－1
A．2.5 B．2 C．－ 5 D. 5
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第十一章 |复习
[解析] D 由勾股定理可以得，OB＝ 12＋22＝ 5，又因为交点在正半 轴上，所以表示的数是 5，选 D. 方法技巧
3
易错警示 受平方根的影响，有的同学误认为“正数的立方根有两个”，实 际上任何数都只有一个立方根， 且立方根不原数的正负性相同．
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考点三
平方根与立方根的应用
一个正方体盒子棱长为 6 cm， 现在要做一个体积 比原来正方体体积大 127 cm3 的新盒子，求新盒子的棱长．
[解析] 设新盒子的棱长是 x cm，根据题意列出关于 x 的方程，再根据立方根的定义，求出 x 即可． 解：设新盒子的棱长是 x cm， 由题意得 x3＝63＋127， 整理得 x3＝343， ∴x＝ 343＝7， 答：新盒子的棱长是 7 cm. 3
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3．算术平方根的双重非负性 算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即： (1)被开方数a ≥ 0；(2) a ≥ 0. [点拨] 算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号(对被 开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示 非负数a的正的平方根．
4．无理数、实数 无限不循环小数 叫做无理数． 有理数 和 无理数 统称为实数．
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1 下列实数中，是无理数的为( D )
25 A．0 B. C．3.14 D. 2 7
2 估计 11的值( B )
A．在 2 到 3 之间 B．在 3 到 4 之间 C．在 4 到 5 之间 D．在 5 到 6 之间
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3 已知实数 m、n 在数轴上的对应点的位置如图 11－2 所示， 则下列判断正确的是( C )
第12章
数的开方复习
知识归纳
1．平方根、算术平方根、立方根 平方根 算术平方根 立方根 如果一个数的 立方 等于a，那么 这个数叫做a的立 方根
定 义
正数a的 正的平方根，叫 如果一个数的 平方 等于a，那 做a的算术平方根； 么这个数叫做a 0的算术平方根 的平方根 是 0 ，即 0 ＝ 0
表 示
[解析] (1)负数都小于 0， 正数都大于 0， 最小； 5 －5 (2) ≈2.236，比 5小的正整数有 1 不 2. 方法技巧 比较实数的大小常用以下方法：①正数＞0＞负数；② 两个负数绝对值大的反而小；③在数轴上表示的两个实数， 右边的数总大于左边的数；④作差法：已知实数 a、b，若 a－b＝0，则 a＝b；若 a－b＞0，则 a＞b；若 a－b＜0，则 a＜b.
3
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图 11－2 A．m＞0 B．n＜0 C．mn＜0 D．m－n＞0
4 若实数 x、y 满足
5x＋y＋|y－5|பைடு நூலகம்0，则 xy 的值为( D ) A．1 B．－1 C．5 D．－5
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5 如图 11－3 所示，数轴上表示 1、 2的对应点分别为 A、B， 点 B 关于点 A 的对称点为 C(即 AC＝AB)，则点 C 所表示的数是 (C )
丌是无理数，而是有理数；(3)构造型，如 0.3232232223„(每两个 3 之间依次
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考点五 实数的大小比较 (1)下列各数中，最小的实数是( A ) A．－5 B．3 C．0 D. 2 (2)写一个比 5小的正整数，这个正整数是________(写出一个即可)． 1或2
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图 11－3 B．1－ 2 C．2－ 2 D. 2－2
A. 2－1
6 1．请你观察思考下列计算过程：因为 112＝121，所以 121＝ 11；同样，因为 1112 ＝12321，所以 12321＝111；„由此猜想 12345678987654321＝________. 111111111
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± a (a≥0)
a
(a≥0)
3
a
性 质
一个正数有 两 个平方根， 正数有一个 一个正数有 一 个 正 的立方根； 它们互为 算术平方根；0的 相反数 ；0的 负数有一个 0 算术平方根是 负 的立方根； 平方根是 0 ； 负数 没有 平 0的立方根是 0 方根
联 系
平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方 根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种； (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 非负数 才有；(3)0的平方根、算术平方根均为 0 . 平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为 逆 运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研 究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立 方根也可通过转化为正数的立方根来研究， 即 3 ； 3
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考点四
无理数、实数
π π A. ÷ 是无理数 3 3 3 B. 是有理数 3 C. 4是无理数 3
下列说法正确的是( D )
D. －8是有理数
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π π [解析] D 因为 ÷ ＝1 是整数，所有的整数和分数都 3 3 3 是有理数，A 丌正确； 3是无理数， 也是无理数，B 丌 3 3 正确； 4＝2 是有理数，C 丌正确； －8＝－2 是有理数， 所以 D 正确，选 D.
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考点攻略
考点一 平方根、算术平方根
例1
[解析] 方根是± 3.
± 3 9的平方根是________．
9表示 9 的算术平方根，先计算 9＝3，而 3 的平
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(－2)2 的算术平方根是( A．2 B．± 2 C．－2 D. 2
A
)
[解析] A 因为(－2)2＝4，所以本题就是求 4 的算术 平方根，而 4 的算术平方根是 2，所以选 A.
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实数的分类：按定义分：
实数
有理数

整数

正整数 零 负整数
正分数 分数 负分数
无限
正无理数 无理数 不循环 负无理数 小数
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如果实数a、b互为相反数，那么a＋b＝ 0 ；如果实数a、b互为 倒数，那么ab＝ 1 . 互为相反数的两个数的绝对值 相等 ， 即 |a| ＝ |－a|. 6．实数的大小比较 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大 . 正数 大于 零，零 大于 负数，正数 大于 一切负数，两个负 数比较，绝对值大的 反而小 . 7．实数的运算 在实数范围内，可进行 加、减、乘、除、乘方、开方 六种运 算，且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍成立． 实数混合运算的运算顺序：先算 乘方 ，再算乘除 ，最后 算 加减 ；同级运算按 从左到右 的顺序进行，有括号时，要先算 括号内 的． [注意] 在进行实数的运算时，一定要严格按照有关法则、运算 律和运算顺序进行．
常见的无理数主要有以下三种类型：(1)含 π 型，这是同学们最早见到的
3 无理数；(2)根号型，一些带根号，但开丌尽方的数，如： 3， 15， 9等， 这是最常见的无理数，但要特别注意像上述所说的那样，并丌是所有带根号 的数都是无理数，如像 36， 27等这些数，它们虽然也带根号，但它们却 多一个 2)等这样一些有规律但丌循环的无限小数． 3