第12章 数的开方(平方根与立方根)
第十二章数的开方
平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
平方根的基本性质一个数的平方根分为三种情况：正数有两个个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0_；负数没有平方根。
算术平方根正数的正的平方根称为算术平方根。
而0的算术平方根是0开平方运算求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
开平方是一种运算，它与平方互为逆运算，计算器求一个数的平方根时要特别注意按键顺序。
平方根与算术平方根的联系与区别：联系：具有包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。
存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有。
0的平方根和算术平方根都为零。
区别：定义不同个数不同表示方法不同取值范围不同几个非负数之和为零，则它们分别为零。
立方根的定义：一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根。
立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
平方根与立方根的联系与区别联系：都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。
都可以归结为非负数的非负根来研究零的平方根和立方根都是它本身区别：符号不同，根指数2可以省略而根指数3不可以省略平方根只有非负数才有而立方根任何数都有正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个实数与数轴开立方的运算：求一个数立方根的运算叫做开立方，=__________无理数无限不循环小数叫做无理数。
一看是否是无限小数；二看是否是不循环小数。
无理数的常见形式含开平方不尽的式子；含π的式子；定义本身的形式。
实数有理数与实数统称为实数实数与数轴上的点一一对应分类⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数正有理数有理数负有理数实数正无理数无理数负无理数分数正整数有理数实数整数负整数无理数实数的运算顺序先算乘方开方、再算乘除、最后算加减，如果有扩号，则先算括号里面的。
八年级数学数的开方
2、算术平方根
（1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a ”，
读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根
（3）重要性质： a2 a
2
a a(a 0)
3、立方根
（1）立方根的意义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根 （也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。
记作： x 3 a ,读作“三次根号a” 。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
（2）立方根的性质
①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。
例1、x为何值时，下列代数式有意义。
（1） 3 2x
（2） x 2 2 x
（3） x2 3
（4） （5）
1
3x 1
x 1 x 1
（6） (x 1)2
例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的
平方根是 4 ，
求a+2b的平方根。
例3、若x、y都是实数，且 y x 3 3 x 2 ， 求x+3y的平方根。
第12章 数的开方
－－（平方根与立方根）
知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数
就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 a或 a 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。
第12章 数的开方
第12章数的开方第一节平方根与立方根 2知识点1 1-30的平方数1-10的立方数2知识点2 平方根立方根2知识点3 平方根的性质立方根的性质3知识点4 算术平方根算术立方根3知识点5 求平方根求立方根3知识点6 用数轴巧记平方根,立方根4第二节实数与数轴 6知识点1 实数的认识与分类6知识点2 数与数轴上的点7赢家大比拼:勇闯三关唯我甲天下! 9排查第一节平方根与立方根评价[ ] 知识点1 1-30的平方数1-10的立方数【】观察242与262, 232与272, 222与282, 212与292有何关系?例如: 782 49 ←头乘头112 ←头乘尾的2倍+ 64 ←尾乘尾6084例如: 452=2025, 852=7225, 952=9025.比如:63=62×6, 83=82×8, 93=92×9.[ ] 知识点2 平方根立方根【】如果264x ,那么x=±8 如果x3=512,那么x=8↑↑↑↑平方前的数平方后的数立方前的数立方后的数如果x2=10,那么x=? 如果x3=10,那么x=?于是以前学的平方没办法,便产生了于是以前学的立方没办法,便产生了新的数平方根,出现了新的符号. 立方根,出现了新的符号.. a】】】（2） 显示结果为 35 ，所以35． （3）显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得81.44≈ ．例4 用计算器求下列各数的立方根：（1） 1331；（2） －343；（3） 9.263．分析:用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按（－），也可以按－．解（1） 在计算器上依次键入3■显示结果为11，所以31331＝11． （2） 在计算器上依次键入或7．（3） 在计算器上依次键入(3■) ，显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得3263.9≈ ．[ ] 知识点6 用数轴巧记平方根,立方根 【 】挑战你1: 学透知识, 想通方法, 挑战是一种快乐!1. 说出下列各数的平方根：（1） 64；（2） 0.25；（3）8149．2. 用计算器计算：（1）676；（2）8784.27；（3）225.4（精确到0.01）．3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案． （1） 0.09的平方根是0.3； （2）25＝±５．4. 求下列各数的立方根：（1） 512；（2） －0.027；（3） －12564．5. 用计算器计算：（1）36859；（2）3576.17；（3）3691.5（精确到0 01）.挑战你: 学透知识, 想通方法, 挑战是一种快乐!1. 求下列各数的平方根：（1） 8116；（2） 0.36；（3） 324．2. 求下列各数的立方根：（1） 0.125；（2） －6427；（3） 1728．3. 用计算器计算．（精确到0.01） （1）89.16；（2）36892．4. （1）10在哪两个整数之间? （2） 3.1＜10＜3.2正确吗? （3） 下列四个结论中，正确的是（ ）． A. 3.15＜10＜3.16 B. 3.16＜10＜3.17 C. 3.17＜10＜3.18 D. 3.18＜10＜3.19排查第二节实数与数轴评价[ ] 知识点1 实数的认识与分类【】质数正整数自然数合数自然数0、1 0生活趣释自然数：原始人在打猎，摘野果子中自然而然产生了0 1 2 3 4……这些数。
第12章 数的开方
第12章数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。
三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：3a （读作：三次根号a ），a 称为被开方数，“3”称为根指数。
3a 中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义：“±a ”→问：哪个数的平方是a ； “a ”→问：哪个非负数的平方是a ； “3a ”→问：哪个数的立方是a 。
2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。
如：若3-x 有意义，则x 取值范围是 。
数的开方(平方根、立方根。。。)超经典教案
第十二章数的开方·单元要点分析·1．本章的主要内容：平方根与立方根的概念，二次根式的概念及其运算，实数的概念（包括实数运算）。
具体地本章首先引入实际问题，然后通过实际问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算，通过计算器的探索活动，引入无理数概念，并介绍估算方法，包括通过估算比较大小，检验结果合理性等。
最后，给出实数的概念和分类，并引入实数的相关概念、运算律和运算法则等。
2．本章特点：（１）注意创设问题情境（正方形的面积为25cm2，边长是多少？两个根式相除，怎样进行呢？等等），为学生提供了许多富有挑战性的问题（如：你能在数轴上找到表示2的点吗？为什么说2不是有理数？等等），为学生提供了探索问题的时间和空间，使学生能够经历问题探索的过程，进一步培养学生的抽象思维能力。
（２）实数概念的建立，要突出无理数概念的建立。
对于无理数概念的引入，要采取从特殊到一般的方法，重点讲清2为什么是无理数，让学生经历2是无理数的探索过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数。
对于运算技能的培养，本章不但重视精确计算和估算，而且重视计算器的使用，计算器的使用贯穿本章始终，成为本章的一大亮点。
3．重点、难点：重点：本单元的教学重点是实数的概念，发展学生的数感和计算能力。
难点：本单元的教学难点是无理数的概念、有理数与无理数的区别。
4．教学目标知识与技能：通过引入无理数，让学生理解随着实际的需求，数的范围不断在扩充，了解平方根、立方根、实数及其相关概念，会用根号来表示，并会求数的平方根、立方根、实数运算。
过程与方法：让学生经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程，从事借助计算器探索规律活动，发展学生抽象概括能力，并在此活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识。
情感态度与价值观：能运用实数运算解决简单的实际问题，提高学生的应用能力，发展学生解决问题的能力，从中体会数的运用价值。
§12.1 平方根与立方根1.平方根第一课时教学目的知识与技能：通过动手操作，使学生地一步感受到无理数在实际生活中的大量存在，形成认识，会根号表示平方根。
第十二章数的开方教案
12.1.1平方根教学目标:1．理解平方根和算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2．会用根号表示一个数的平方根3. 体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别教学重点：了解一个非负数平方根的概念，求某些非负数的平方根。
教学难点：平方根和算术平方根的区别和联系，以及对a的理解。
教学过程：一、复习引入1、我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)3、一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)二、创设问题情境，解决问题正方形面积为25 cm2, 的正方形纸片，纸片的边长应是多少？答案：边长是5cm．∵2525=，∴正方形的边长是5cm．如果把正方形的面积改为9，16，29呢？一定存在面积为29的正方形边长，那么是多少呢？我们今天就来解决这个问题（板书课题——平方根）平方根定义：2525=，25是5的平方，而5是25的平方根．还有没有平方能等于25的数，()2525-=，25是-5的平方，-5是也是25的平方根．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．即若2x a=，则x叫做a的平方根．问：4，9，16，25，81，916，164的平方根是多少？为什么？【例1】求下列各数的平方根（1）81；（2）425；（3）100；（4）0.49．示范：∵()2981±=，∴81的平方根是9±．记作：9=±三、平方根的性质通过上面例题的解答，你能发现什么？1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数．①0的平方根是多少呢？2、∵200=，∴零只有一个平方根，是零．②负数的平方根多少呢？3、∵任何数的平方都是非负数，∴负数没有平方根．③ 四、算术平方根我们把正数a a 的负的平方根表示为a 的平方根表示为【例2】求下列各数的算术平方根49，100，144，925，0.64， 2.89 ； 971．81示范：∵2749=，∴49的算术平方根是7．3497134916971)3(=±=±=±所以，因为【例3】说出下列各式的值；；．引言：∵2290a a a a ==∵大于∴五、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，也叫做开二次方．“开平方是一种运算” 代数运算共有六种三个级别，加、减；乘、除；乘方、开方．【例3】将下列各数开平方0.04，1，1169，641225，0.81，36．示范：∵()20.20.04±=，∴0.04的平方根是0.2±，即0.2=±．六、小结：两个定义（平方根与算术平方根），三条性质（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零只有一个平方根为零；负数没有平方根．） 七、作业：B4一张．12.1.1平方根——符号及逆运算教学目标：1会求非负数的平方根，2掌握a表示的算术平方根中的a的条件和a的本身的意义3应用平方根的性质解决问题教学重点和难点：区分应用平方根的性质解决问题教学过程：【例1】说出下列式子的值．；．三、a的关系．（一样给一列，依次推导公式，以会计算为主）2a=(2a=(2a=，，a=．【例2】计算下列各式的值．2；2(；2(；2(3)±．例3：求下列各式的值：．；；；；9005136.0314120)5(432425)4(362324)3(25214)2(625)1(2222--+⋅--±-例4 求下列各式字母的取值范围(2；(3同步：1x的值为________．2．已知3y=，求2x y+的值．【例5】23x y+的平方根．∴30x y-+=，10x y+-=．解得，1x=-，2y=，∴234x y+=．∴23x y+的平方根为2±．同步：若20a -=，求2a b -的值．四、加深平方与平方根的互逆关系【例6】已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．解：由题意，得219a -=，3116a b +-=， ∴5a =，2b =，29a b +=． ∴2a b +的平方根为3±．同步：1．若54x +的平方根是1±，则x = _______．2．若x 是16的一个平方根，y 是9的一个平方根，则x +y =______． 五、利用平方根性质解题【例7】如果A 的两个平方根分别是21x -与34x -，求A 的值？解：由题意，得()()21340x x -+-=．解得1x =． ∴21211x -=-=，∴A 211==．同步：如果21x -和34x -是A 的平方根，求A 的值？ 六、利用平方根解一元二次方程 【例8】求下列各式的值：（1）0252=-x ； （2）81)1(42=+x ； （3）6442=x ； （4）09822=-x ． 解：（1）225x =，5x =±； （2）()28114x +=，912x +=±，∴72x =或112x =-． （3）216x =，∴4x =±． （4）2196x =，∴13x =±． 小结：作业：一张卷11.1.2立方根教学目标1．了解一个数的立方根的意义； 2．会用根号表示一个数的立方根；3．弄清立方根与平方根的区别，了解开立方和立方互为逆运算。
12.1 平方根与立方根(第1课时 平方根)
1.本节课引入了新的运算------开方运算， 1.本节课引入了新的运算------开方运算，开 本节课引入了新的运算------开方运算 方和乘方互为逆运算 互为逆运算， 方和乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中 六种基本代数运算（加、减、乘、除、乘方、 六种基本代数运算（ 乘方、 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 ），这对代数内容学习有着重要的意义 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 2. 本节主要学习了：①平方根的概念； ②平方 本节主要学习了： 平方根的概念； 根的性质：一个正数有两个平方根， 根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数， 的平方根是0 负数没有平方根； 相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；③ 平方根的表示方法； 平方根的表示方法；④求一个数的平方根的运 开平方， 算—开平方，应分清平方运算与开平方运算的 开平方 区别与联系。 区别与联系。
如果一个数的平方等于 a ，这 个数叫a的平方根 的平方根。 个数叫 的平方根。 的平方根。 若 x2 = a,则 x 叫做 a 的平方根。 则
4 说出9， 25 ，16 ，
1 4
， 0.49的平方根。
0的平方根是什么？有几个？ ﹣4有没有平方根？为什么？
平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这 一个正数有两个平方根， 两个平方根互为相反数； 两个平方根互为相反数； 只有一个平方根，它就是0 ②0只有一个平方根，它就是0 本身； 本身； 负数没有平方根。 ③负数没有平方根。
(1)5
2 2
(2)(−5)
2 2
(4)(±4)
(5)(±0.3)
归纳: 一个数的平方的值和它的相反数的平方值相等. 归纳: 一个数的平方的值和它的相反数的平方值相等. 2.求出下列各括号中的数 求出下列各括号中的数. 求出下列各括号中的数 49 2 2 (1)(_____) = (2)(_____) 64 2 15 2 (4)(_____) (3)(_____) = 1 49 2 2 2 (6)(_____) (5)(_____) = 35
华华师版数学八年级上讲义(习题)
八年级上第12章 数的开方1．平方根（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
其中正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”，另一个平方根是它的相反数，即a -。
因此，正数a 的平方根可以记作a ±。
a 称为被开方数。
0的平方根只有一个，就是0，记作00=。
负数没有平方根。
（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
（1）求下列各数的平方根和算术平方根① 121 ②（－3）2 ③3161④361- ⑤625（2）下列说法正确的是（ ）①1的平方根是1 ②1是1的平方根 ③()21-的平方根是-1 ④若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数只能是零 ⑤只有正数才有平方根（3）解下列方程①0492=-x ②()28922=-x（4）若()02y 5-x 2=++，则2x+y= 。
（1）81的平方根是 ，16的算术平方根是 。
（2）一个数的平方根等于它的本身，这个数是 。
（3）如果x,y （x ≠y ）是同一个不为零的数的平方根，那么x+y= 。
（4）若2m+4与3m-1是同一个数的平方根，试求m+3的平方根和算术平方根。
（1）()232-x 与2-y 是同一个不为零的数的平方根，那么x+y=（2）若51=-x x ，求221xx +的平方根。
2．立方根（1）如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
（3）数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”，其中a 称为被开方数，3称为根指数。
（4）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。
正数有一个正的立方根。
负数有一个负的立方根。
0。
（1）求下列各数的立方根：①－271 ②0.064 ③1－87 ④64 ⑤512169 （2）下列说法正确的是（ ）① 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 ②一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同 ③负数没有平方根，也没有立方根 ④若一个数有立方根，则这个数一定有算术平方根 （3）解方程 ① ()()3432-x ②1258133=-=-x（4）若,643=x 则x = 。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“” 读作“二次根号下a ”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，a 叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A 正数有一个正立方根 B 负数有一个负立方根 C 零的立方根是零（4）立方根的表示：数a 的立方根我们用符号 来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= · （a≥0,b≥0）。
新课程课堂同步练习册八年级上册华东师大版数学答案
《新课程课堂同步练习册·数学(华东版八年级上)》参考答案 第12章 数的开方§12.1平方根与立方根（一）一、 1.B 2.A 3.B二、1. ±7 2. ±2, 3.-1； 4.0三、1.从左至右依次为: ±3,±4,±5, ±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12,±13,±14,±15. 2.（1）±25 （2）±0.01 （3）45± （4）29±(5)±100 (6) ±23.（1）±0.2 （2）±3 （3）79±（4） 17±4．（1）a ＞-2 (2)a =-2 (3)a ＜-2. §12.1平方根与立方根（二） 一、1.D 2.A 3.C二、1. 14±,142.（1）25.53 （2）4.11 4. 0或1.三、1.（1）80 （2）1.5 （3）114（4）3；2.(1)-9 (2) 12±(3)4 (4)-53.（1）2.83 （2）28.09（3）-5.34 （4）±0.47.4. 正方形铁皮原边长为5cm . §12.1平方根与立方根（三） 一、1.D 2.A 3.C二、，-3 2. 6，-343 3.-4 4. 0，1，-1. 三、1.（1）0.4 （2）-8 （3）56（ 4）112- (5)-2 (6)100；2.（1）19.09（2）2.652（3）-2.098（4）-0.9016；3. 63.0cm 2；4．计算得：0.5151，5.151，51.51，515.1，得出规律：当被开方数的小数点向左（右）每移动2位，它的平方根的小数点就向左（右）移动1位.5151.§12.2实数（一） 一、1.B 2.C二、1. 略 2. ≥12-.三、1.（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）×（7）√（8）×；2.有理数集合中的数是：13，3.1415，2-5，0，⋅⋅43.6，0.8π,0.1010010001…； 3.A 点对应的数是-3，B 点对应的数是-1.5，C D E 点对应的数是π.§12.2实数（二）一、 1.C 2.B 3.B二、1. （11（2）2-3. 5 .三、1.（1）（2）--（3）1+；2.（1）7.01 （2）-1.41 （3）2.743.略4. 7第13章 整式的乘除§13.1幂的运算 (一)一、1.C 2.B 3.D 二、1.1010 2. 6 ，8 3. 9三、1.(1)10a (2)9a (3)6a (4)10()x y + (5)82x （6）51n b +2.可进行1410次运算3. 2 §13.1幂的运算(二) 一、1.D 2.B 3.C二、1.10m ，18x 2.14x 3.62y ；4. 2三、1.（1）9a （2）21x （3）215a （4）123a （5）0 （6） 23n a + 2．b ＞a ＞c §13.1幂的运算(三) 一、1. C 2.D 3.A 二、1. 4109x y ,96318a b c 2. 44m ,54a b 3. 216三、1.(1) 3327x y (2)464x y (3) 85a (4)927a2. (1) 1- (2) 3 3．x =5 4.52 §13.1幂的运算(四) 一、1.C 2.A 3.B二、1.8a ,2a 2. y ，5y 3.22x y ，5x -三、1.(1)3a (2)3m (3) 5x - (4) 4x (5)1 (6) 4y 2. 12x y ==§13.2 整式的乘法(一) 一、1.B 2.D 二、1.232x y 2.-5412x y z 3.5312x y -三、1.(1)1254a b (2)-23x y (3)-4044a b (4)-18628a b c (5)10()x y - (6)3.6⨯17102. 2.37⨯710 3. 11,,23a b c ==-=-§13.2整式的乘法(二)一、1.B 2.C二、1.263m n mn -，4362x x -+ 2.1832a b -2723a b ，33a b +3. 3223122a b a b ab -+，32232212812x y x y x y --三、1.(1)2155x xy - (2)3222612a b a b -+ (3) 3223423x y x y xy -+(4) 42241827m n m n - (5)222322a b a b - (6)222x y xy + 2. 12x =-3.提示：n (2n +1)-2n (n -1)=2n ²+n -2n ²+2n =3n .§13.2整式的乘法(三) 一、1.B 2.D 3.C二、1.22124m mn n -- 2.22276x xy y -+ 3.-6三、 1.(1)221x x +- (2)249x - (3)2456x x -- (4)22672m mn n -+-(5)48x + (6)2278x y + 2. -3§13.2整式的乘法(四) 一、1.D 2.B 3.C二、1.-2 2. 2 3.2(123)x cm - ,233cm 三、1. 化简得252x x --，多项式的值为14-2.(1)x =5 (2)6x <3.(1)①2710x x ++②2710x x -+③2310x x --④2310x x +-(2)2()x a b x ab +++ (3)①21128x x ++ ②26m m +-§13.3 乘法公式(一) 一、1.C 2.B二、1.22925a b -,229x y -； 2.2249b a -，224x y -； 3. 22()()a b a b a b +-=-三、1.(1)229a b - (2)22161y x -(3) x 2-9y 2 (4) x 2-4 (5) 2mn (6) 5x -92.(1) 44a -, 8 (2)25x -, -26 §13.3乘法公式(二) 一、1.A 2.D 3.C二、1. 5 2. 1 ，89993.3x y +三、1.（1）2125y - （2）29y （3）2121a a +- （4）81x - （5）9999 （6）8359992．1282 §13.3乘法公式(三) 一、1.A 2.D 3.A二、1.2244m mn n -+,2244x xy y -+ 2.224493a ab b ++，2214a ab b -+3.222()2a b a ab b -=-+ 三、1.(1)2961m m ++ (2)21424x x -+(3)229124x xy y ++(4) 224129x xy y ---(5)9604 (6) 121042.(1) 23x -，6 (2) 22a b -，21 3．1528§13.3乘法公式(四) 一、1.B 2.C二、1.924x -，2441a a ++；2.6±；3. 6x ±或4814x三、1.(1)42242x x y y -+ (2)31x -+ (3)2319a a -+ (4)8xy 2(1)2 (2)3 §13.4整式的除法(一) 一、1.D 2.B 3.B二、1.42x ,5xy - 2. 34mn ，25()x y - 3. 4 ，3三、1.(1) 2x (2)4m - (3) 224x y (4) 54ab 2.225a b -，-1 ；3. 45.410⨯倍§13.4整式的除法(二) 一、1.C 2.C 3.C二、1.32a b - 2.24x -+ 3. 4m -2n 三、1.(1)2322x xy -(2)222m n mn - (3)2351m m -+ (4)23212ab b -+-2.(1)2ab -，1 (2) xy -，5 3．2,4x y ==- ，-24 §13.4整式的除法(三) 一、1.B 2.C二、1.27510⋅⨯ 2.221510x y xy - 3.(464)a b ab ++cm 三、1.(1) 23()x y + (2) -b (3)5463x y -(4)22x - 2.14x ≤-3． 429156x x x -+ §13.4整式的除法(四) 一、1.C 2.B 3.A 二、1.2233ab b -+- 2.-5 3.18，4三、1.（1）422a b a b +（2）2322x x --+（3）123y x -（4） 261a b -2．(1) 任一单项式与它前面的单项式的商都为2x - (2)10512x - §13.5因式分解(一) 一、1.D 2.B二、1. ab 2.a (a -2) ,3xy (4x -1) 3.-12三、1.（1）a （a +2b ) （2）3ab(b-2a-3) (3)(x -2) (6-x ) （4）3x (a +b )(a +b -2y )（5）2x 2(x -5)（6）x (x +4) 2. (1)220 (2) 2.732§13.5因式分解(二)一、1.A 2.A 3.D二、1.-(x -2y )2，3 (a -4)2 ；2.②③④⑤； 3.(x -3) 三、1.（1）（x +2y ）(x -2y ) （2）(9+m)(9-m) (3)(m -5)2 (4)(3a+4b)2（5）3(x +4)(x -4) （6）(x +y )2(x -y )2 （7）(x -2)2 （8）(2a -3b )22. (1)2000 (2) 59853．∵4x 2-4x +2= 4x 2-4x +1+1=(2x-1)2+1＞0, ∴ 4x 2-4x +2的值恒为正数.第14章 勾股定理§14.1 勾股定理（一） 一、1.B 2.D二、1．（1）13 （2）12 （3）24 （4）63 2. 2 3. 1三、1.30cm 2 2.28米 3.AB=§14.1 勾股定理（二） 一、1.B 2.D 3.D 二、1. a ²+c ²=b ² 2.1360 3.5三、1. 略 2. 169 cm 2 3.36 §14.1 勾股定理（三）一、1.C 2.B 3.C 二、1. 6.93 2. 3.2 3. 5三、1. 1米 2. 2.2米 3.（略） §14.1 勾股定理（四）一、1.B 2.C 3.B二、1.22`1 2. 10三、1. 提示：利用勾股定理的逆定理检验2.（1）面积为12.5，周长为1851320+++ (2)∠BCD 不是直角3．∵a 2+b 2=(n 2-1)2+(2n)2 =n 4-2n 2+1+4n 2 =n 4+2n 2+1=(n 2+1)2 ∴ a 2+b 2=c 2 ∴ △ABC 是直角三角形 §14.2 勾股定理的应用（一） 一、1.A 2.D二、三、1. BF=12，AD=13，ED=2.6 2.略； 3. 10. §14.2 勾股定理的应用（二） 一、1. 12≤a ≤13 2.815 3. 150二、1. 34海里 2. 因为小汽车的速度为72千米/时 ,所以小汽车超速 3．996.9m 2第15章 平移与旋转§15.1平移（一）一、1.D 2.C 3.B二、1.B B '的方向 线段B B '的距离（答案不唯一） 2.形状 大小 位置 3.2cm 三、1.略 2.图略 §15.1平移（二）一、1.D 2.D 3.C二、1.A , Q 2. 72° 3. 7，7三、1．CF=4cm CD=3cm DF=3 cm EF=2 cm 2.图略3．（1）图略（2）重叠部分的面积与原长方形ABCD 面积的41§15.1平移（三） 一、1.D 2.C二、1. 13㎝ 2.B B ' ，C C '，D D '；B A ''，D C '' ，CD ，不能 3.相等,相等三、1.图略 ；2.（1）相等，理由如下：由题意可知，AB ∥CD ，AD ∥BC ，所以∠DAC=∠BCA ，∠BAC=∠ACD ，所以∠B=∠D 3.4个 ，9个 §15.2旋转（一） 一、1.D 2.C二、1.中心 ，方向 ，角度 2.180°3.点C,∠ACD(答案不唯一)的度数，D 、E ，EC ，∠DCE 三、1.（1）点A ， 60° （2）AC 边上的中点（3）等边三角形 2.能 ，点A ， 120° 3.（1）垂直 （2）13㎝2§15.2旋转（二） 一、1.C 2.D 3.B二、1.中心,角度,距离 2.点B ，点C ，BC 边的中点3. 4,△ABO 与△CDO 、△ADO 与△CBO 、△ABC 与△CDA 、△ABD 与△CDB4.60 三、1.略 2.略 §15.2旋转（三）一、1.C 2.D 3.B 二、1.略 2.120 3.2π三、1.（1）点D （2）正方形 , 64 （3）30C DC '∠= ，CDA '∠=60° 2.略 §15.2旋转（四） 一、1.B 2.C二、1.轴对称，平移，旋转 2.B , D ,旋转3.线段的中点 , 180°,对角线的交点, 90°,180°,270°,圆心 ,任何度数4. 4.5 三、1.图略 2.CG=CE ，理由如下：由题意可知，DE=BF=BG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD=AD=AB ，∵CG=BC-BG ，CE=CD-DE ，∴CG=CE §15.3中心对称（一） 一、1.B 2.D二、1. A ，B 2.略 3. HINO XZ, BC HIM OU X , HI OX三、1.图略 2.能，对称中心是点C ，对应线段有：DC 与CE ，AD 与EF ，AB 与GF ，BC与GC ；对应角有：∠D 与∠E ，∠A 与∠F ，∠B 与∠G ，∠DCB 与∠GCB3.图略4.图略§15.3中心对称（二） 一、1.A 2.B二、1.OA=OD ，OB=OC 2.2㎝ , 1.5㎝ 3.关于点O 成中心对称 三、1.图略； 2.图略； 3.图略 ， 成中心对称 ； 4. 图略§15.4图形的全等 一、1.C 2.B二、1.12； 2.55； 3.120 , 4 ； 4.①②③④三、1.（1）△ADE ≌△ABC ，对应边有：AB 与AD , BC 与DE , AC 与AE ，对应角有：∠BAC 与∠DAE ，∠B 与∠D ，∠C 与∠E （2）∠C=30° ∠B=110° ∠BAE=100° 2.（1）AC=BD AO=OB OC=OD （2）∠D=32° （3）AC ∥BD ，∵AO=OB ，CO=OD ， ∴ △AOC 与△BOD 是关于点O 成中心对称的, ∵AC ∥BD. 3.CD=3㎝第16章 平行四边形§16.1平行四边形的性质（一） 一、1.D 2.B 3.B二、1.110，70，110 2.120，60 3.115° 三、1. ∠A=50°，∠B=130°，∠C=50°，∠D=130°；2. ∠ADE=30°，∠EDF=60°，∠FDC=30°.3. AE ⊥BE,∵∠DAB+∠ABC=180°，∴12∠DAB+12∠ABC=90°，即∠EAB+∠ABE=90,∴∠AEB=90°,即AE⊥BE§16.1平行四边形的性质（二）一、1.D 2.C二、1.2cm 2.16 3.5，7三、1. 21cm 2. 8cm；3.8cm§16.1平行四边形的性质（三）一、1.B 2.D二、1.10 2.40° 3.7.三、1. 24cm； 2. 略； 3.略§16.1平行四边形的性质（四）一、1.B 2.B二、1.55 2.3 3.100°，80°三、1.16 2. 略§16.2矩形、菱形与正方形的性质（一）一、1.C 2.A 3.B二、1.7 2.28 3.90，45三、1. 2cm； 2. 5cm 3.45°§16.2矩形、菱形与正方形的性质（二）一、1.A 2.B二、1.32 cm 2.60°，120°， 60°，120° 3.30 4.5三、1. 8cm；2. 面积24cm2，周长20cm3.60°，120°,60°，120°.§16.2矩形、菱形与正方形的性质（三）一、1.C 2.B二、1.22.5° 2.67.5三、1.15°；2. 提示：因为四边形EFOG为矩形，所以EF=OG，只要说明EG=GB即可.§16.2矩形、菱形与正方形的性质（四）一、1.D 2.B二、1.4cm 2.5cm 3.1 4.12三、1.20cm 2.150° 3.（1）提示：∠FBC=∠BCE=45°（2）AE=DF，理由略. §16.3 梯形的性质(一)一、1.D 2.C二、1. 60 2.10 3. 26 4.110三、1. 60°，120°， 60°，120°；2. 24cm§16.3 梯形的性质(二)一、1.B 2.B二、1.6 2.9 3. 5＜a＜13三、1.(1)等边三角形，理由略 (2)25； 2. 108°，72°，108°，72°；3.(1)略（2）∠A=108°,∠B=72°,∠C=72°,∠ADC=108°4．∵CE∥BD，AE∥DC，∴四边形BECD是平行四边形，∴DB=CE，又∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD，∴AC=CE，即三角形CAE是等腰三角形5.2(10cm。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根B负数有一个负立方根C零的立方根是3a零（4）立方根的表示：数a 的立方根我们用符号 来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= · （a≥0,b ≥0）。
八年级数学数的开方
2、算术平方根
（1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a ”，
读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根
（3）重要性质： a2 a
（3）重要性质：3 a 3 a
了四只仿佛排骨般的纯蓝色手臂。接着忽悠了一个，舞贝柴刀滚七百二十度外加凤笑鸭掌转五周半的招数！接着又秀了一个，直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的 粗犷招式！紧接着阳光天使般的脑袋骤然旋转紧缩起来……充满活力、青春四射的幼狮肩膀渗出钢灰色的隐约浪雾……青春光洁，好似小天神般的手掌射出亮蓝色的飘飘余味
例4、如果 M ab a b 3 是a+b+3的算术平方根， N a a2b3 2b 是a+2b的立方根，
求M－N的立方根。
例5、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简
a2 a b c a (b c)2
练一练
1、求下列各数的平方根和算术平方根：
25
（1）
4
（2） 4 2 （3）． 2 8
第12章 数的开方
－－（平方根与立方根）
知识数的平方等于a ，这个数
就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 a或 a 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。
6、已知：实数、满足条件 a 1 (ab 2)2 0
1
试求ab
(a
1 1)(b
1)
(a
1 2)(b
12.1.2-3算术平方根
(2) 7.2 等于多少? (3)对于正数a,
2
2
a 等于多少?
18
试一试
1.求下列各式的值： ⑴
1
⑵
9 25
⑶
2
2
⑷
1 3
2
2.求出下列各式的算术平方根． (4) 0.0025 (5) 121 (6) 32 (7)
11 1 25
3.⑴３的算术平方根是＿＿＿．
求2 x 3 y z的值
解：∵
( x 2)2 0 x 2
y 3 0 y 3
z4 0 z 4
2 x 3 y z 4 9 4 1
21
拓展:已知
x y 4 | x 2 y 5 | 0求x，y的值．
解：根据题意得 x y 4 和 | x 2 y 5 | 均为非负数,
2.哪些数有算术平方根？
有平方根的数必有算术平方根，即正数和0才有算术根。
3.如果
a 表示算术平方根，a必须满足什么条件？
因为非负数才有算术根，故a≥0。
7
正数a的算术平方根记作： a
它的另一个平方根是它的相反数，记作： a
因此一个正数a的平方根表示为： a 0的平方根还是0 0 0
那么求一个正数的平方根，只要求出它的 算术平方根后，就可以写出它的平方根了。
8
思考：
下列各式哪些一定有意义，哪些没 有意义？ （1）- 4 （2） 4 （3） 3 （4） 32
2
x 1
x 1
a
9
a
2
想一想：
未知数取什么值才使下列各式有意义？
x
x
15.3期末复习(第12章数的开方)
数学·人教版（RJ）
8．非负数 正数和零 统称为非负数． 定义： 我们已经学过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a的 绝对值 是非负数，即 |a| ≥0； 2n (2)任何一个实数a的 偶次方 是非负数，即 a ≥0； (3)任何一个非负数a的算术平方根 是非负数，即 a ≥0. 非负数有以下性质： (1)非负数有最小值零； (2)非负数之和仍然是非负数； (3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
-a a
(3)0的平方根和立方根都是 0
数学·人教版（RJ）
2.开平方与开立方 求一个非负数a的平方根 的运算，叫做开平方．其 中a叫做被开方数 . 求一个数a的立方根 的运算，叫做开立方．其中a 叫做被开方数 . 立方 都分别互为逆运 开平方与 平方 、开立方与 算． [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术 平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平 方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关 系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方 根(立方根)．
2．用计算器计算 0.000064， 0.064， 64， 64000，你能 发现什么规律？
3
3
3
3
解： 0.0000 64＝0.04， 0.064＝0.4， 64＝4， 64000＝40. 被开立方数的小数点每向右(或向左)移动 3 位，其立方根的小数 点相应地向右(或向左)移动 1 位．
3
3
3
数学·人教版（RJ）
考点六
实数的运算
计算：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16.
解：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16 ＝3＋(－8)－9－1＋4 ＝3－8－9－1＋4 ＝－11.
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（2）
4
2
（3）．
2 8
2、计算：
（1） 256 16 （3） 25 （5）
3
（2）
1.44
（4）
0.01
4
2 3
2
（6） 10
1 3 16
（7） 0.125 （8） 3
64 125
+
3
7 (1 ) 2 8
3
-
3
8
+
1 100
(-2)3×
2、算术平方根
非负数a的正的平方根。 （1）算术平方根的意义：
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a 读作：“根号a”，其中a叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根 ”，
（3）重要性质： a a
2
a
2
a (a 0)
3、立方根
（1）立方根的意义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根 （也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。 记作： x 3 a ,读作“三次根号a” 。 求一个数的立方根的运算叫做开立方。
（2）立方根的性质
①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。
例4、如果
M ab a b 3 是a+b+3的算术平方根，
是a+2b的立方根， 求M－N的立方根。
N a2b3 a 2b
例5、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简
a 2 a b c a (b c) 2
练一练
1、求下列各数的平方根和算术平方根：
25 （1） 4
0.064
1 （9）3 8 3 32 2 18 4 2
3、解方程： （1） 4 x 9
2
（2）
x 1
2
2
1
5 3x （ (2 x 1) （6）
3
8
x 5
4、已知实数满足 求 a(b c) 的值
第12章 数的开方
－－（平方根与立方根）
知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数 就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
a或 a 。
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。 （3）平方和开平方互为逆运算；
3 （3）重要性质： a 3 a
例1、x为何值时，下列代数式有意义。 （1） 3 2 x （2） （3） （4）
x2 2 x
x 3
2
1 3x 1
x 1 x 1
（5）
2 ( x 1 ) （6）
例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的 平方根是 4 ， 求a+2b的平方根。 例3、若x、y都是实数，且 y x 3 3 x 2 ， 求x+3y的平方根。
1 1 a b 2b c (c ) 2 0 2 2
，
5、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
(a 1) 2 (b 1) 2 (a b) 2
6、已知：实数、满足条件
a 1 (ab 2) 0
2
1 1 1 1 试求ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) (a 2004)(b 2004的值． )