回归分析和曲线拟合

N
^
^
_
( yi yi )
i=1 N
N
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_
2
(y
i=1
i
y)2
_
1 b2
2 ( x x ) i
N
_
(y
i=1
i=1 N
i
y)2
_
(6 11)
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令 r 2 b2
( xi x) (y
i=1 i=1 N _ i
* 2 i 1 i 1 N N
*
Q反映了全部观测值yi (i 1,2,..., N )对直线的偏离程度，显 然，离差平方和Q越小，愈能较好地表示x, y之间的关系。 用最小二乘法原理，通过选择合适的系数a，b，使Q最小
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N Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 N Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1 联合求解得： N 1 N ( xi x)( yi y ) xi yi xi yi N i 1 i 1 i 1 b= i 1 N N _ 1 N 2 2 2 ( x x ) x ( x ) i i i N i=1 i 1 i 1 _ _ N N
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设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N )是变量x，y的一组观测数据。 那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一 个yi a bxi的值，yi 与xi处实际观测值yi的差： yi yi yi (a bx) 就刻画了yi与直线偏离度
i=1 N ^ _
(6 8)
U反映了总变动中，由于x与y的线性关系而引起y变化的 一部分，称为回归平方和 第三项为零 Lyy U Q (6 9)
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每一个变动平方和（即Lyy、U、Q）都有一个“自由度” 和它们对应，Lyy自由度称为总自由度，记做f总。 f总＝观测值个数－1＝N－1 f U＝1 f Q＝N－2 三者之间仍然有：f总 f U f Q

三、回归方程检验方法
（一）方差分析法
回顾方差分析的基本特点： 把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映水平 变化引起的波动，另一部分反映由于存在试验误差而引起 的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引 起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的.
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设( xi , yi )(i 1, 2,..., N )为变量x，y间的一组观测数据，xi 为观测点，yi为xi 处的观测之， y a bx 为这组观测数据 求得的变量x，y间的回归方程，在回归问题中，观测数 据总的波动情况，用各观测值yi 与总平均y之间的平方和 即总变动平方和表示 Lyy ( yi y ) [( yi yi ) ( yi y )]2
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一元线性回归分析，只要解决： （1）求变量x与y之间的回归直线方程 （2）判断变量x和y之间是否确为线性关系 （3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量 的取值
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二、一元线性回归方程的确定
数学上判定直线合理的原则： 如果直线与全部观测数据yi (i 1, 2,..., N )的离差平方和， 比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小，该 直线就是代表x与y之间关系较为合理的一条直线，这条 直线就是x和y之间的回归直线。
1
2


变量S的值随t而定，这就是说，如果t去了固定 值，那么S的值就完全确定了 这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系 回归分析方法是处理变量之间相关关系的有理 工具，它不仅提供建立变量间关系的数学表达式— —经验公式，而且利用概率统计知识进行了分析讨 论，从而判断经验公式的正确性
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可用F检验考察回归直线的显著性： U/fu U （1）计算F= ( N 2) Q/fQ Q （2）对于选定的显著性水平a＝0.05 （或0.01 ），从F分布 上找出临界值Fa (1, N 2) （3）比较F与Fa的大小。 若F>Fa，则回归方程有意义，反之则说明方程意义不大
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(6 1) (6 2)
(6 3)
a y b x
_
_
(6 4)
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_ 1 N 1 N 此处 x xi , y yi N i 1 N i 1 求得a，b后，回归方程为： _
(6 5)
y a bx 便可以确定，b称为回归系数
^
(6 6)
11


（二）相关系数检验法
由U ( yi y ) U [(a bxi ) (a b x )]2
2 i=1 N i=1 N ^ _ N _
b ( xi x) 2
2 i=1
_
代入 Lyy [( yi yi ) ( yi y )]2整理后可得
i=1
二、回归分析所能解决的问题
回归分析主要解决以下几方面的问题： （1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系， 如果存在的话，找出她们之间合适的数学表达式 （2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一 个变量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确 度 （3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之 间的相互关系等等
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* * *
y
( xi , yi )
( xi , yi )
^
y a bx
^
x1
x
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全部观测值yi (i 1,2,..., N )与直线上对于的yi (i 1,2,..., N ) 的离差平方和则为： Q ( yi yi ) ( yi a bxi ) 2
2 i=1 i=1 N N _ N ^ ^ _ _ ^
( yi yi ) ( yi y ) 2 ( yi yi )( yi y )
2 2 i=1 i=1 i=1
N
^
^
_
N
^
^
_
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第一项 Q ( yi yi ) 2
i=1
N
^
Q是观测值与回归直线的离差平方和，反映了误差的大小 第二项 U ( yi y ) 2