天体运动常考易错的三个难点

ω2＝
GM R3
ω3＝
GM R＋h3
ω1＝ω3<ω2
a2＝ω22R＝GRM2
a3＝ω23(R＋h)＝RG＋Mh2
a1<a3<a2
2.特别注意 赤道上物体的向心力由万有引力和支持力的合力提供，所以 GMr2m＝mvr2不适用．
例 1 [2016·四川卷]国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设
答案：B
2．[2016·天津卷，3]我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发 射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟 十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对 接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然 后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然 后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速， 加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠 近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析：对于绕地球做圆周运动的人造天体，由GMr2m＝mvr2，有
A．该航天飞机在轨道Ⅱ上经过 A 点的速度小于经过 B 点的速度 B．该航天飞机在轨道Ⅰ上经过 A 点时的向心 加速度大于它在轨道Ⅱ上经过 A 点时的加速度 C．在轨道Ⅱ上从 A 点运动到 B 点的过程中， 航天飞机的加速度一直变大 D．可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过 A、B 两点的速度大小
例 2 (多选)作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火
答案：D
多维练透
1．[2019·云南模拟]如图所示，A 是地球同步卫星，B 是近地卫 星，C 是在赤道上随地球一起转动的物体，A、B、C 的运动速度分 别为 vA、vB、vC，加速度分别为 aA、aB、aC，下列说法正确的是( )
A．C 受到的万有引力就是 C 的重力 B．vC>vB>vA C．aB>aA>aC D．A 在 4 h 内转过的圆心角是π6
势能 Ep＝－GMrm(式中 m 为物体的质量，M 为星球 的质量，G 为引力常量)，不计空气阻力，则下列说 法中正确的有( )
A．该航天飞机在轨道Ⅱ上经过 A 点的速度小于经过 B 点的速 度
B．该航天飞机在轨道Ⅰ上经过 A 点时的向心加速度大于它在 轨道Ⅱ上经过 A 点时的加速度
C．在轨道Ⅱ上从 A 点运动到 B 点的过程中，航天飞机的加速 度一直变大
透析考点·多维突破 考点一 地球的同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运行问题
1．三类特殊位置的转动比较
位置 项目
赤道表面 的物体
近地卫星
向心力
万有引力
来源
的分力
同步卫星 万有引力
线速度
角速度 向心
加速度
v1＝ω1R ω1＝ω 自 a1＝ω21R
v2＝
GM R
v3＝ω3(R＋h)＝
GM R＋h
v1<v3<v2(v2 为第一宇宙速度)
解析：重力是由于地球对物体的吸引而产生，重力在数值上等
于物体对地面的压力．由于地球自转，C 受到的万有引力大于 C 的 重力，A 项错误．由于同步卫星 A 和地面上物体随地球自转的角速 度 ω 相等，由线速度公式 v＝ωr，可知 vA>vC，B 项错误．由向心 加速度公式，a＝ω2r，可知 aA>aC.考查地球同步卫星 A 和近地卫星 B，由牛顿运动定律，GMr2m＝ma，可知 aB>aA，C 项正确．根据同 步卫星绕地球运动一周 24 h 可知，A 在 4 h 内转过的圆心角是π3，D 项错误．
答案：ABC
技巧点拨 航天器变轨的问题“四个判断” 1.判断速度 (1)在两轨道切点处，外轨道的速度大于内轨道的速度． (2)在同一椭圆轨道上，越靠近椭圆焦点速度越大． (3)对于两个圆轨道，半径越大速度减小. 2.判断加速度
(1)根据 a＝mF，判断航天器的加速度． (2)公式 a＝vr2对椭圆不适用，不要盲目套用.
B．航天飞机在轨道Ⅱ上经过 B 点的速度大于在轨道Ⅰ上经过
A 点的速度
C．航天飞机在轨道Ⅱ上经过 B 点的速度大于 7.9 km/s，小于
11.2 km/s
D．航天飞机在轨道Ⅱ上从 A 点运动到 B 点的时间为 π
2R g
解析：根据开普勒第三定律，有3TR123＝2TR223，可知 T2<T1.又由
答案：C
考点三 天体的追及相遇问题
1．相距最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，
两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t ＝2nπ(n＝1,2,3，…)．
2．相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，
从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝ 1,2,3…)．
立为“中国航天日”.1970 年 4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫 星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约
为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射 的东方红二号卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道 上．设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、 a3 的大小关系为( )
解析：由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间
内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由 ω＝θt 知， 卫星在 A 点的角速度小于 B 点的角速度，选项 A 错误；设卫星的 质量为 m，地球的质量为 M，卫星的轨道半径为 r，由万有引力定
律得 GmrM2 ＝ma，解得 a＝GrM2 ，由此可知，r 越大，加速度越小， 故卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度，选项 B 正确；卫星由 A 运动到 B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项 C 错 误；卫星由 A 运动到 B 的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选 项 D 错误．
例 3 2018 年 5 月 9 日，夜空上演了“木星冲日”的精彩天
象．火星、木星、土星等地外行星绕日公转过程中与地球、太阳在
一条直线上且太阳和地外行星位于地球两侧称为行星“冲日”，如
果行星与太阳位于地球同侧称为行星“合日”．现将木星和地球近
似看成在同一平面内沿相同方向绕太阳做匀速圆周运动，已知木星
.
3.判断机械能 (1)在同一轨道上，航天器的机械能守恒． (2)同一航天器在不同轨道上，轨道半径越大，机械能一定越大. 4.判断周期： 根据开普勒第三定律判断
多维练透 1.
如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B 是卫星运 动的远地点和近地点．下列说法中正确的是( )
A．卫星在 A 点的角速度大于 B 点的角速度 B．卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度 C．卫星由 A 运动到 B 过程中动能减小，势能增加 D．卫星由 A 运动到 B 过程中引力做正功，机械能增大
G3MRm2＝m·3R(2Tπ1)2，GRM2m＝mg，联立可得 T2＝4π 2gR，航天飞机
从 A 点运动到 B 点的时间 t＝T22＝2π 2gR，故 A 正确、D 错误；画 一个以地心为圆心，以 B 点到地心的距离为半径的圆形轨道Ⅲ，航 天飞机在轨道Ⅱ上经过 B 点的速度大于在轨道Ⅲ上的速度，在轨道 Ⅲ上的速度大于在轨道Ⅰ上经过 A 点的速度．故航天飞机在轨道Ⅱ 上经过 B 点的速度大于在轨道Ⅰ上经过 A 点的速度，故 B 正确； 在近地轨道上，若卫星的发射速度大于 7.9 km/s，小于 11.2 km/s， 轨道是椭圆，故 C 正确．
角速度相等，根据 a＝rω2，得aa0＝Rr ，故 C、D 项错误． 答案：A
考点二 卫星的变轨与对接问题
1．卫星的变轨
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与 向心力的关系
Mm v2 G r2 <m r
Mm v2 G r2 >m r
轨迹变化
由圆变为外切椭圆，或由 由圆变为内切椭圆，或由
椭圆变为外切圆
椭圆变为内切圆
速度和加 两个轨道切点的加速度相等，外轨道的速度大于内
速度变化
轨道的速度
2.卫星的对接 在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接．同一 轨道的卫星，不论加速或减速都不能对接．
例 2 (多选)作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星
和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在 A 点 从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已知 A 点距地面的高度为 2R(R 为地球半径)，B 点为轨道Ⅱ上的近地点，地球表面重力加速度为 g，地球质 量为 M.又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体与星球球 心距离为 r 时，其引力势能 Ep＝－GMrm(式中 m 为物体的质量，M 为星球的 质量，G 为引力常量)，不计空气阻力，则下列说法中正确的有( )
答案：C
2．[2019·浙江模拟]已知地球半径为 R，静置于赤道上的物体随
地球自转的向心加速度为 a；地球同步卫星做匀速圆周运动的轨道
半径为 r，向心加速度大小为 a0，引力常量为 G，以下结论正确的 是( )
A．地球质量 M＝aG0r2 B．地球质量 M＝aGR2 C．向心加速度之比aa0＝Rr22
的轨道半径 r1＝7.8×1011 m，地球的轨道半径 r2＝1.5×1011 m，根 据你所掌握的知识，估算出木星从本次“冲日”到下一次“合日”
的时间大约为( )
A．3 个月
B．6 个月
C．1.1 年
D．2.1 年
解析：根据开普勒第三定律得TT2122＝rr1323，木星与地球的运行周期 之比TT12＝ rr3132＝11.9，由于地球的运行周期为 T2＝1 年，则木星的 运行周期为 T1＝11.9 年，则木星从本次“冲日”到最近一次“合
v＝
GrM∝
1 ，可见 r
v
与
r
是一一对应的．在同一轨道上运行速度
相同，不能对接；而从同一轨道上加速或减速时由于发生变轨，二
者不能处于同一轨道上，亦不能对接，A、B 皆错误．飞船处于半
径较小的轨道上，要实现对接，需增大飞船的轨道半径，飞船加速
则轨道半径变大，飞船减速则轨道半径变小，C 正确、D 错误．
机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒，有－GMrAm＋12mv2A＝－GMrBm＋12 mvB2，由开普勒第二定律得 rAvA＝rBvB，结合GRM2m＝mg，rA＝3R， rB＝R，可求得 vA、vB，故 D 正确．
答案：ACD
【迁移拓展】 (多选)在【例 2】题干不变的情况下，下列说
法正确的是( )
A．航天飞机在轨道Ⅱ上运动的周期 T2 小于在轨道Ⅰ上运动的 周期 T1
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1 C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
解析：由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上 的物体角速度相等，根据 a＝ω2r，r2>r3，则 a2>a3；由万有引力定 律和牛顿第二定律得，GMr2m＝ma，由题目中数据可以得出，r1<r2， 则 a2<a1；综合以上分析有，a1>a2>a3，选项 D 正确．
箭、卫星和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维 修任务后，在 A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已知 A 点距地面的高度为 2R(R 为地球半径)，B 点为轨道Ⅱ上的近地点， 地球表面重力加速度为 g，地球质量为 M.又知若物体在离星球无穷 远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为 r 时，其引力
D．可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过 A、B 两点的速 度大小
解析：在轨道Ⅱ上 A 点为远地点，B 点为近地点，航天飞机经 过 A 点的速度小于经过 B 点的速度，故 A 正确．在 A 点，航天飞
机所受外力为万有引力，根据 GMr2m＝ma，知航天飞机在轨道Ⅰ上 经过 A 点和在轨道Ⅱ上经过 A 点时的加速度相等，故 B 错误பைடு நூலகம்在 轨道Ⅱ上运动时，由 A 点运动到 B 点的过程中，航天飞机距地心的 距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故 C 正确．航天飞
D．向心加速度之比aa0＝Rr
解析：A 项，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引 力提供向心力，则有 GMr2m＝ma0，解得地球质量 M＝aG0r2，故选 A
项正确．B 项，地球赤道上的物体随地球自转时有 GMRm2 －mg＝ma， 得 M＝g＋GaR2，故 B 项错误；C、D 项，地球同步卫星与物体的