数学建模的主要建模方法

主要建模方法

1、类比法

建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型

2、量纲分析

是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。

它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。

在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。

量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。

3.差分法

差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验

4、变分法

较少

5、图论法

数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。图论是研究由线连成的点集的理论。一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。因此，图论是研究自然科学、工程技术、经济问题、管理及其他社会问题的一个重要现代数学工具，更是成为了数学建模的一个必备工具

6、层次分析法

现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

层次分析法的基本步骤是：建立层次结构模型；构造成比较矩阵；计算权向量并做一致性检验

7.数据拟合法在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据，处理这类问题较简单易行

的方法是通过数据拟合法求得“最佳”的近似函数式———经验公式。从几何上看就是找一条“最佳”的曲线，使之和给定的数据点靠得最近，即进行曲线拟合。根据一组数据来确定其经验公式，一般可分为三步进行

（1）决定经验公式的形式根据所描绘系统固有的特点,参照已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式。大致思路：一是利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论, 来确定经验公式的形式。二是在无现成理论情况下,最简单的处理手段是用描图的方法,将数据点连成光滑曲线,把它与已知函数曲线进行比较,找出与之比较接近的曲线。三是如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值,可利用合适的数学方法,对所研究系统的有关问题进行定量化的机理分析,导出较为严密的数学公式。

（2）决定经验公式中的待定参数一般可用线性情况下的最小二乘法，它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况。在使用最小二乘法时,如遇到数学模型是非线性经验公式时，其中参数的待定通常是尝试能否经适当的变量替换,将之化为线性模型来计算。

（3）进行模型检验求得确定的经验公式后,将实际测定值与用公式算出的理论值进行比较8.回归分析法回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究建模问题

是一种常用的有效方法，一般与实际联系比较密切，因为随机变量的取值是随机的，大多数是通过试验得到的，这种来自于实际中与随机变量相关的数学模型的准确度（可信度）如何，需通过进一步的统计试验来判断其模型中随机变量（回归变量）的显著性，而且往往需要经过反复地进行检验和修改模型，直到得到最佳的结果，最后应用于实际中去。回归分析的主要内容一是从一组数据出发，确定这些变量（参数）间的定量关系（回归模型）；二是对模型的可信度进行统计检验；三是从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）；四是应用结果是对实际问题作出的判断.根据回归模型中回归的特征，常见的回归模型有：一元线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型。具体选择哪种回归模型，一般方法如下

1）淘汰法

基本思想是把所有可选择的变量抖放进模型中，而后逐个做剔除检验，直到不能剔除为止，最后得到所选模型。

（2）纳新法基本思想是先少选取几个变量进入模型，而后对其它变量逐个做引入模型的检验，直到不能引入为止。

（3）逐步回归法基本思想是上述两法的结合。

9.数学规划法

（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）

（1）线性规划线性规划问题的共同特征：

①一组可控因素（决策变量）X表示一个方案,一般X大于等于零；

②约束条件是线性等式或不等式；

③目标函数是线性的，求目标函数最大化或最小化。线性规划问题的解法在变量比较少的情形下可以用图解法得到最优解，在变量比较多的情形下一般应用单纯形法求解，此时一般借助于计算机编程求解。

（2）非线性规划如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的最优化问题就是非线性规划问题。非线性规划问题的解法主要有罚函数法和近似规划法。

（3）整数线性规划整数规划问题是要求决策变量取整数值的线性或非线性规划问题，可分