微积分第一章---函数--习题及答案

微积分第一章---函数--习题及答案

第一章 函数

一、 填空

1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。

2、设()1

1

1

>≤⎩

⎨

⎧=x x x x f ，则()()x

e f x f +•1sin = 。 3、7

1

2arcsin

42-+-=

x x y 的定义域为 。

4、()x

x f x f 2

12=⎪⎭

⎫ ⎝⎛- ，则()x f = 。 5、()001

<≥⎪⎩⎪⎨

⎧=x x x

x x f ，则()[]=x f f 。 6

、已

知

()()[]2

1,sin x x f x x f -==ϕ，

则

()x ϕ= 。

7、设函数()x f 满足关系式：()()x

e x

f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8

、已知

()[]()2

sin

,cos 1x

x x x f =+=ϕϕ，则

()

x f = 。

9、已知

()⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤+<≤<≤-+=3

1210303132x x x x x x f x

，则其反函数

()

x f 1-= 。

10、函数3

arcsin cos lg x

y =由 复合而成。

二、选择

1、函数()x

x f 3=，则()y x f +=（ ）

A 、()()y f x f

B 、()x f 2

C 、()x f

D 、()y f 2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A 、()3

x f B 、

()[]3

x f C 、

()()

x f x f --

D ()()x f x f -+

3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()x x f 单调减少，则有（ ）

A 、()()()b f a f b a f +<+

B 、()()()

b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()()b

a b f a f b a f ++>+ 4、设函数()u f 的定义域为10<

A 、（0 ，1）

B 、（1 ，a ）

C 、（0 ，e ）

D 、

（1 ，e ）

5、设[x]表示不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=为（ ）

A 、无界函数

B 、单调函数

C 、偶函数

D 、周期函数

6、设函数()x

xe x x f sin tan +=，则()x f 是（ ）

A 、偶函数

B 、无界函数

C 、周期函数

D 、单调函数 7、函数

()()()()

2

212sin ---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界

（ ）

A 、（-1 ，0）

B 、（0 ，1）

C 、（1，2）

D 、（2 ，3）

8、若在（-∞，+∞）内()x f 单调增加，()x ϕ单调减少，则()[]x f ϕ在（∞，+∞）内（ ） A 、单调增加 B 、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算

１、设函数()x f y =的定义域为［０，３a ］（a >０），求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。 ２、已知()⎩⎨

⎧≤<≤≤=+2

121

012x x x x x ϕ ，求()x ϕ及其定义域。

３、设

()⎩⎨

⎧>+≤-=0

202x x x x x g ，()⎩⎨

⎧≥-<=0

02x x x x x f ，求()[]x f g

４、设()x f 是（－a ，a ）上是奇函数，已知0≥x 时，

()()()0

0,==ϕϕx x f ，试求：在（－a ，０）上()=x f ？

四、应用题

１、某商品的单价为１００元，单位成本为６０元，商家为了促销，规定凡是购买超过 ２００单位时，对超过部分按单价的九五折出

售，求成本函数、收益函数、利润函数。 ２、某电视机每台售价为５００元时，每月可销售２０００台，每台售价为４５０元时，每月可增销４００台，试求该电视机的线必性需求函数。

３、某厂生产某商品的可变成本为１５元／件，每天的固定成本为２０００元，如果每件商品的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？

五、设()x

c x bf x af =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+1 ，其中c b a ,,为常数，且b a ≠，试证：()()x f x f -=。 应用实例

生小兔问题

兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？

解 先直接推算，在第1月只有1对兔子；第2月也只有一对兔子；在第3月这对兔子生了1对小兔子，共有2对兔子；在第4月，老兔子又