系统稳定性意义以及稳定性的几种定义

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义

一、引言：

研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。

在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。

电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。

二、稳定性定义：

1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。

稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。

绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。

（1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。

（2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。）

（3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。

实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。

相对稳定性。除了绝对稳定性外，还需要考虑系统的相对稳定性，即稳定系统的稳定程度。因为物理控制系统包括一些储能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统到达稳态之前，它的瞬态响应常常表现为阻尼振荡过程。在稳态时，如果系统的输出量与输入量不能完全吻合，则称系统具有稳态误差。

2、一个系统对任意有界的输入，其零状态响应也是有界的，则该系统称为有界输入有界输出稳定系统。即设Mt，My为正实常数，如果系统对于所有的激励|f（t）<=Mt，其零状态响应为|y（t）|<=My则系统是稳定的。对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。

3、线性系统在初始条件为零时，输入理想单位脉冲函数δ(t)，这时系统的输入称为单位脉冲响应。若线性系统的单位脉冲响应函数随时间趋于零，则系统稳定。若趋于无穷，则系统不稳定。若趋于常数或者等幅振荡，这时趋于临界稳定状态。

一般反馈系统如图，此时系统的传递函数为

，系统的特征方程为1+G(s)H(s)=0,如果特征根落在[s]复平面的左半部分，系统就是稳定的。

证明：系统输入理想单位脉冲函数δ(t)，它的Laplace变换函数等于1，所以系统输出

的Laplace变换为，式中，si（i=1,2，...,n）为系统特征方程的根，也就是系统的闭环极点。设n个特征根彼此不等，并将上式分解成部分分式之和的形式，即

，式中，ci（i=1,2,…,n）待定系数，其值可由Laplace变换方法确定。

对上式进行Laplace反变换，得到系统的脉冲响应函数为。可以看出，要满足条件，只有当系统的特征根全部具有负实部方能实现。

因此，系统稳定的充要条件：系统的特征方程根必须全部具有负实部。反之，若特征根中有一个以上具有正式部时，则系统必为不稳定。或者说系统稳定的充分必要条件为：系统传递函数的极点全部位于[s]复平面的左半部。若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全部在[s]平面左半部时，便会出现临界稳定状态。

三、稳定性分析：

【本文仅分析线性时不变(LTI)电路的稳定性。判断一个系统是否稳定可以从时域或复频域两方面进行讨论。本文不对含受控源电路的稳定性进行分析】

例1：对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。

某线性时不变电路的网络函数为，当输入为单位阶跃函

数e(f)时，电路零状态响应的象函数为

用留数法解得。

考虑到0.0002<<1，取上式的拉普拉斯逆变换，。上式中

的前两项是衰减函数，第三项，当t较小时，可忽略不计，但是当t较大时，这个正指数项超过其他两项并随着的增长而不断增大，则电路不稳定。实际的电路系统不会完全是线性的，这样，很大的信号将使设备工作在非线性部分，不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏和危险。

简单电路分析：

作出运算电路图如图2，其网络函数为

令分母，其根即为该网络函数的极点。

解得

当电路参数变化时，上式会有四种形式及相应的电路变化：

①当时，Pl,2如上式，是两个不相等的负实根，响应的自由分量由两个衰减的

指数函数组成，属于过阻尼振荡。

②当时，，此时有两个相等的负实根，属于临界阻尼振荡。

③当时，上式可写为：，是实部为负的两个共轭复根， 响应的自由分量是一个衰减的正弦函数，属于欠阻尼振荡。

④ 当Rp=∞时，为两个共轭虚数根，响应为等幅振荡。

以上前三种形式其网络函数的极点均在s 平面的左半平面，第四种形式其网络函数的极点在虚轴上，电路均是稳定的。可见四种形式所对应的网络函数的极点仅与电路的结构及参数有关，而与激励无关。

由网络函数H(s)的极点分布可以很方便地得出LTI 电路是否稳定的结论 。

(1)当H(s)的所有极点全部位于s 平面的左半平面，不包含虚轴，则电路是稳定的。

(2)当日(s)在s 平面的虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位

于s 平面的左半平面，则电路是临界稳定的。

(3)当H(s)含有s 右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上

的极点时，电路是不稳定的。

四、连续因果系统稳定性判断准则—罗斯-霍尔维兹准则：

所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。

必要条件—简单方法

一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：

（1）所有系数都必须非0，即不缺项；

（2）系数的符号相同。

例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定

例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不稳定

例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。

（二）罗斯列表

将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列

第1行 an an-2 an-4 …

第2行 an-1 an-3 an-5 …

第3行 cn-1 cn-3 cn-5 …

它由第1，2行，按下列规则计算得到：

312111------

=n n n n n n a a a a a c 514131------=n n n n

n n a a a a a c ......

第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。

罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。

举例：