狭义相对论习题和答案

作业6 狭义相对论基础

研究：惯性系中的物理规律；惯性系间物理规律的变换。 揭示：时间、空间和运动的关系.

知识点一:爱因斯坦相对性原理和光速不变

1.相对性原理：物理规律对所有惯性系都是一样的，不存在任何一个特殊 (如“绝对静止”)惯性系。

2.光速不变原理：任何惯性系中，光在真空中的速率都相等。

( A )1（基础训练1）、宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为(c 表示真空中光速)

(A) c ·t (B) v ·t (C) 2

/1(v /)c t c ∆⋅-(D) 2)/(1c t c v -⋅⋅∆

【解答】

飞船的固有长度为飞船上的宇航员测得的长度，即为c ·t 。 知识点二:洛伦兹变换

由牛顿的绝对时空观伽利略变换，由爱因斯坦相对论时空观洛仑兹变换。 (1)在相对论中，时、空密切联系在一起(在x 的式子中含有t ，t 式中含x)。 (2)当u << c 时，洛仑兹变换 伽利略变换。 (3)若u c, x 式等将无意义

x

x x v c

v v

v v 21'--=

1（自测与提高5）、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 逆向飞行．其中一艘飞船测得另一艘飞船速度的大小v ′=_0.994c _． 【解答】

222

2()220.9'0.994()1/10.91v v v c

v c v v c v c --⨯=

===-++-

知识点三:时间膨胀

(1)固有时间0t ∆：相对事件发生地静止的参照系中所观测的时间。 (2)运动时间t ∆：相对事件发生地运动的参照系中所观测的时间。

2

01⎪⎭

⎫

⎝⎛-∆=

∆c v t t

(B )1（基础训练2）、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀

速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速)

(A) (4/5) c ． (B) (3/5) c ． (C) (2/5) c ． (D) (1/5) c ． 【解答】

()

222

002

4311551/t v t v c c c t v c ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∆=

⇒=-⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-

2（自测与提高12）、飞船A 以的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以的速度相对地球向正西方向

飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少 【解答】

以地面为K 系，飞船A 为K ˊ系，以正东为x 轴正向；则飞船B 相对于飞船A 的相对速度

220.60.8 1.4

'0.9460.810.80.6

1(0.6)1B A B A B v v c c v c c v c

c v c c

----=

===-+⨯---

' 6.17()t s ∆==

=

知识点四:长度收缩

(1)固有长度0l :相对物体静止的参照系测得物体的长度。 (2)运动长度l ：棒运动时测得的它的长度。

022

1l c

v l l <-=

说明：只有棒沿运动方向放置时长度收缩！

(C )1（基础训练3）、 K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K ＇系中，与O'x'轴成 30°角．今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是：

(A) (2/3)c ． (B) (1/3)c ． (C) (2/3)1/2c ． (D) (1/3)1/2c ． 【解答】

K ＇系中：00'cos30;'sin30x y l l l l ︒︒

==

K

系中：

()2

'tan 45'1/1/3x x y y l l l l v c v ===⇒-=⇒=o

(C)2（自测与提高4）、一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a ，宽为b ，质量为m 0．由此可算出其面积密度为m 0 /ab ．假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度v 作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度则为

(A) ab c m 20)/(1v - (B) 2

0)/(1c ab m v - (C) ])/(1[20c ab m v - (D)

2/320])/(1[c ab m v -

【

解答】

022'''''(1/)m m

a b b a b ab v c σ==⇒===

-

3（基础训练7）、一门宽为a ．今有一固有长度为l 0 (l 0 > a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿

其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u

至少为___．

【解答

】门外的观察者测得杆的长度'l l a

u =≤⇒≥

4（自测与提高10）、一隧道长为L ，宽为d ，高为h ，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v 沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测，(1) 隧道的尺寸如何(2) 设列车的长度为l 0，它全部通过隧道的时间是多少 【解答

】 (1) 宽、高及拱顶都不变，长度变为'L =

(2) ()()

00'//t L l v l v '=+=

5（基础训练10）、两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是v ．在飞船A 中有一边长为a 的正方形，飞船A 沿正方形的一条边飞行，问飞船B 中的观察者测得该图形的周长是多少