反三角函数求导公式的证明

反三角函数求导公式的证明

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则

一、反函数的导数

设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可

导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可

导的，而且

)(1

)(y x f ϕ'=' (1)

证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆

由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知

0)()(≠-∆+=∆x f x x f y

于是

y x

x y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y

)(11lim lim

00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11

1211312

2

x x arctgx x a x a x '=-'=+'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数

函数 y x sin =在

)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在

)1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=

' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-=

因此，

211

)arcsin (x x -=' 证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)

tgy x = 在 I y 上单调、可导且

0cos 12>='y x 故

2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=

'

证3

a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='=

'

类似地，我们可以证明下列导数公式：

(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=1

11112

2

二、复合函数的求导法则

如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00

x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为

)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==

证明：因)(lim

00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有 )0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y

用0≠∆x 去除上式两边得：

x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0

由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：

00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 00

==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α

x u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α

)()(00x u f ϕ'⋅'=

即

)

(

)

(

x

u

f

dx

dy

x

x

ϕ'

⋅

'

=

=

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：

若

u x

=ϕ()

在开区间

I

x可导，

y f u

=()

在开区间

I

u可导，且

∀∈

x I

x时，对应的

u I

u

∈

，则复合函数

])

(

[x

f

yϕ

=

在

I

x内可导，且

dx

du

du

dy

dx

dy

⋅

=

(2)

复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】}])

(

[

{x

f

yφ

ϕ

=，求

dy

dx

引入中间变量，设

v x

=φ()

，

u v

=ϕ()

，于是

y f u

=()变量关系是

y u v x

---

，由锁链规则有：

dy

dx

dy

du

du

dv

dv

dx

=⋅⋅

(2)、用锁链规则求导的关键