弹性力学简明教程第四版第三章课件

。 换为 1
例如，梁的纵向纤维的曲率公式,应该变换为
1

1 M
2
EI
§3.4
简支梁受均布载荷
设有矩形截面梁，深度为h，长度为2l,，体力可以不 计，受均布载荷q，由两端的反力ql 维持平衡。(=1 ) q 此问题用半逆解法，步骤如下：
ql 1. 假设应力分量的函数形式 ql h/2 O h/2 由材料力学知： l l 弯应力x 主要是由弯矩 M 引起的， y 切应力xy 主要是由剪力Fs引起的， 挤压应力y 主要是由直接载荷 q 引起的。 因q不随x变，因而可以假设y不随 x 变，也就是假 设 y 只是 y 的函数：y = f (y)
q
于是，有
x
2
E=F=G=0
ql
xy x3 Ay2 2 By C
x 6 Ay 2B 2 Ay3 2By2 Hy 2K 2 y Ay3 By2 Cy D
O
l
h/2 h/2
ql x l
y
5. 考察边界条件（确定待定系数) 通常梁的跨度远大于梁的深度， 梁的上下两个边界是主要边界。 在主要边界上应力边界条件必须 完全满足；次要边界上如果边界 条件不能完全满足，可引用圣维 南原理用三个积分条件来代替。
Ml u0 0, v0 0, wl v0 0. 2 EI
2
得
M l u x y, EI 2
梁轴的挠度方程是
M M 2 l x x v y 2 EI 2 EI
v y 0
M l x x 2 EI
和材料力学中的结果相同 。
求出应力函数 后，便可求出应力分量.
∂ ∂y
∂ ∂x
∂ ∂x∂y
然后再求应变分量和位移分量。
∂ ∂ ∂ 由于相容方程 是四阶偏微 ∂y ∂x ∂y ∂x 分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，一般
不能直接求解问题。只能采取逆解法和半逆解法。
一.逆解法 (1)先设定满足 的应力函数； (2)根据
x2 f y xf1 y f 2 y 2
其中 f (y), f1(y), f2(y) 都是待定的 y 的函数。
3. 由相容方程求解应力函数
将 代入 得
4 4 4 2 2 2 0 4 4 y x y x
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d4 f2 y d2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
2 2 y 2 f y y, xy . x xy



4. 由应力函数求应力分量
将
2 代入 x y 2 f x x,
xy x3 Ay2 2 By C 3Ey2 2 Fy G
x2 x 6 Ay 2 B x6 Ey 2 F 2 Ay3 2 By2 Hy 2 K 2 y Ay3 By2 Cy D
由小变形假设知：
如果梁是简支梁，则在铰支座O处没有水平位移和铅直位移， 在连杆支座A处没有铅直位移，因此约束条件是
M
o
y
x
A
M
l
0 0, v x 0 0, v x l 0 u xy 0 y 0 y 0
代入
M u xy wy u0 , EI M 2 M 2 v y x wx v0 , 2 EI 2 EI
逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相 容方程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题。这 种方法可以积累弹性力学的基本解答。
二. 半逆解法 半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具 体步骤如下： 1. 根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全 部应力分量的函数形式； 2. 根据
∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂x∂y
第三章
平面问题的直角坐标解答
§3.1
逆解法和半逆解法
多项式解答
在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳 为求解一个应力函数，它必须满足 1.在区域内的相容方程
∂ ∂y
∂ ∂x ∂y
∂ ∂x
2.在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界 条件)
( 在 s上 )
3.在多连体中，还须满足位移单值条件。
如何求位移分量？？？
平面应力问题物理方程：
平面问题几何方程：
对x积分
对y积分
上式代入
移项得：
只是y的函数
积分
只是x的函数
积分
代入位移函数得：
须由约束 条件求得
纯弯曲问题的讨论：
铅直线段的转角：
同一横截面上的各铅直线段的转角相同, 说明横截面保持平面。
纯弯曲问题的讨论：
( x)
梁的各纵向纤维曲率：
如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最 后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别 满足，则我们可以推论出，最后一个小边界上的 三个积分的应力边界条件（即主矢量，主矩的条 件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。
§3-3
o
位移分量的求出
h/2
M
l y
h/2
x
M
( l >>h)
矩形梁纯弯曲时的应力分量：
前两个方程要求 f y Ay By Cy D, f1 y Ey Fy Gy 这里 f1(y) 的常数项被略去，这是因为这一项在 的表 达式中成为 x 的一次项，不影响应力分量。 d4 f2 y d2 f y 第三个方程要求 d y 4 d y 2 12Ay 4B
x
2. 推求应力函数的形式
将
y = f (y)
代入
2 x 2 f x x, y
2 2 y 2 f y y, xy . x xy
有 对 x 积分，得
2 f y 2 x xf y f1 y , x
由应力推出应力函数 的形式； 3.将 代入相容方程，求出 的具体表达式；
4. 将 代入
∂ ∂y
∂ ∂x
∂ ∂x∂y
求出对应的应力分量。
5. 将应力代入边界条件
在s上
考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须 满足位移单值条。如果所有的条件均能满足，上述 解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新 进行求解。
∂ ∂y
∂ ∂y
∂ ∂x ∂y
∂ ∂x
∂ ∂x
∂ ∂x∂y
求出应力分量； (3)在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应 力反推出相应的面力，即
反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。（可 解决的正是上述面力对应的问题）
下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力 可忽略不计( fx = fy = 0 )，应力函数取为多项式。
对应 = bxy，应力分量是 如图矩形板和坐标轴，当板内应力为 x = 0, y = 0, xy=yx =－b, 由应力边界条 件可知，左右上下两边分别有与面相 切的面力 b。 可见，应力函数 = bxy 能解决矩形 板受均布剪力的问题。 对应 = cy2，应力分量是 应力函数 = cy2 能解决矩形板在 x 方向受均布 力的问题。
2
M M M 2 2 l x y, v l x u y EI 2 EI 2 EI
梁轴的挠度方程是
v y 0
M 2 l x 2 EI
也和材料力学的解答相同。
对于平面应变情况下的梁，需在以上形变公式
E 和位移公式中，把E 换为 ，把 2 1
M
o
x
M
y
l
如果梁是悬臂梁，左端自由右端固定，则在梁 的右端。对于y的任何值，都要求 u 0, 和v 0 在多项式解答中，这个条件无法满足，工程实际上， 也没有完全固定的约束条件。
现在，和材料力学中一样，假定右端截面的中点 不移动，该点的水平线段不转动。这样，约束条件 是
l 0, v x l u xy 0 y 0
q ql x l y
ql
O l
h/2
h/2
x2 3 6 Ay 2 B 2 Ay 先来考虑上下两个主要边界条件： x 2 2 2 By Hy 2 K y 0, y q, yx 0
3 2 3 2
d f y 0, 4 dy
d f1 y 0, 4 dy
d f2 y d f y 2 0 4 2 dy dy
即 其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应 力分量。
f 2 y
A 5 B 4 y y Hy 3 ky 2 10 6
xy x3 Ay2 2 By C 3Ey2 2 Fy G
x2 x 6 Ay 2 B x6 Ey 2 F 2 Ay3 2 By2 Hy 2 K 2 y Ay3 By2 Cy D
注意到yz面是梁和载荷的对称面, 所以, 应力分布应对 称于yz面。这样, x, y应该是 x 的偶函数, 而 xy 应该 是 x 的奇函数。
2.取应力函数为二次式
= ax2 + bxy + cy2
∂ ∂y ∂ ∂x ∂y ∂ ∂x
应力函数 满足相容方程
现分别考察每一项所能解决的问题。
对应 = ax2，应力分量是
如图矩形板和坐标轴，当板内应力为 x = 0, y = 2a, xy=yx = 0, 由应力边界条 件可知，左右两边没有面力，上下两 边有均布面力2a。 可见，应力函数 = ax2 能解决矩形 板在 y 方向受均布力的问题。
1.取应力函数为一次式
= a + bx + cy
∂ ∂y ∂ ∂x ∂y
∂ ∂x∂y
应力函数 满足相容方程
∂ ∂x
由
∂ ∂y
∂ ∂x
得应力分量 不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由 应力边界条件 总是得出
一次式 = a + bx + cy对应无体力，无面力，无应力的 状态。把应力函数加上一个线性函数，不影响应力。
= ax2 + bxy + cy2 表示常量的正应力和切应力。
3.取应力函数为三来自百度文库式
= ay3
∂ ∂y ∂ ∂x ∂y ∂ ∂x
应力函数 满足相容方程
对应 = ay3，应力分量是 对于图示矩形板和坐标轴 当 时， 上下两边没有面力；左右 两边没有 y 方向面力，只 有按直线变化的的水平面 力，而每一边的水平面力 合成为一个力偶。 可见，应力函数 = ay3 能解决矩形梁纯弯曲问题。 4.如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则 其中的系数必须满足一定的条件。
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d4 f2 y d2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
这是 x 的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根 (全梁的 x 都应该满足它), 可见它的系数和自由项都 必须等于零，即 4 4 4 2
思考题：逆解法与半逆解法有何区别？
§3.2
矩形梁的纯弯曲


( xy ) x0,l 0
满足。
（c）
x 的边界条件无法精确满足。
（d）
式（d）的第一式是自然满足的
当 l h 时，即使 x 0, l在边界上面力不同于 x的 分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。
结论
f y Ay3 By2 Cy D, f1 y Ey3 Fy 2 Gy
将
f 2 y
A 5 B 4 y y Hy 3 ky 2 10 6
代入
x2 f y xf1 y f 2 y 2
得应力函数
x2 Ay3 By2 Cy D x Ey 3 Fy 2 Gy 2 A 5 B 4 y y Hy3 Ky 2 10 6
v 0, 0 l x x y 0
w, u0 , v0
代入式中，得出下列三个方程来决定
2
Ml Ml u0 0, wl v0 0, w0 2 EI EI
求解之后，得
Ml Ml w , u0 0, v0 EI 2 EI
代入式中，得出该悬臂梁的位移分量