沪科版-数学-九年级上册-23.2相似三角形的判定(一) 教案

23．2 相似三角形的判定（一）

本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并

具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定

定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，

不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理

的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本

节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、

类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．

知识与技能目标：

（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．

（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．

过程与方法目标：

（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．

情感与态度目标：

（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．

（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．

相似三角形判定定理的预备定理的探索

相似三角形判定定理的预备定理的有关证明

探究法

多媒体课件直尺、三角板

一、课前准备

1、全等三角形的基础知识

2、三角形中位线定理及其证明方法

3、平行四边形的判定和性质

4、相似多边形的定义

5、比例的性质

二、复习引入

（一）复习1、相似图形指的是什么？

2、什么叫做相似三角形？

（二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.

图1

记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”， 读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．

：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位

置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．

对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有

∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’,

''B A AB ＝''C B BC ＝'

'A C CA . ：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1 与

k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗?

三、探索交流

（一）［探究］1、在△ABC 中，D 为AB 的中点，如图2，过D 点作DB ∥BC

交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗？

（1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ．

∵DB ∥BC, ∴∠ADE ＝∠B, ∠AED ＝∠C ．

（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？

Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理

∵DB ∥BC ，D 为AB 的中点，

∴E 为AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位线． 图2

（三角形中位线定理的逆定理）

∴DE ＝

2

1BC ．（三角形中位线定理） ∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝21． ∴△ADE ∽△ABC ．

Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识

过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，如图3．

则△ADE ≌△ABC ,（ASA ）

且四边形DFCE 为平行四边形.

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图3

∴DE ＝BF ＝FC.

∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝2

1． ∴△ADE ∽△ABC ．

2、当D 1、D 2为AB 的三等分点，如图4．过点D 1、D 2分别作 BC 的平行线，交AC 于点

E 1、E 2，那么△AD 1E 1、△AD 2E 2与△ABC 相似吗？

由（1）知△AD 1E 1∽△AD 2E 2，下面只要证明△AD 1E 1与△ABC 相似，关

键是证对应边的比相等． 过点D 1、D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 1、F 2，设D 1F 1与D 2F 2相交于G 点．

则△AD 1E 1≌△D 1D 2G ≌D 2BF 2,（ASA ）

且四边形D 1F 1CE 1、D 2F 2CE 2、D 1GE 2E 1、D 2F 2F 1G 为平行四边形.

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

图4

∴D 1E 1＝BF 2＝F 2F 1＝F 1C ， ∴AE 1＝E 1E 2＝E 2C ，

∴ AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝3

1． ∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ．

：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？

过点D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 2，如图5．

则四边形D 2F 2CE 2为平行四边形，

且△AD 1E 1≌D 2BF 2,（ASA ） ∴D 2E 2＝F 2C ，D 1E 1＝BF 2．

由（1）知，D 1E 1＝21D 2E 2，AE 1＝2

1AE 2， 图５

∴D 1E 1＝31BC ，AE 1＝31AC ． ∴AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝3

1． ∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ．

（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D 为AB 上任一点时，如图6，过D

点作DE ∥BC 交AC 于点E ，都有△ADE 与△ABC ．

图6

（三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，

截得的三角形与原三角形相似．

这个定理可以证明，这里从略．

四、应用迁移

：课本第53～54页练习1、3

练习1、如图案，点D 在△ABC 的边AB 上，DB ∥BC 交AC 于点E ．

写出所有可能成立的比例式．

练习3、在第1题中，如果

DB AD ＝2

3，AC ＝8cm ．求AE 长． 五、整理反思