高等代数课件第三章-线性方程组
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3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们
是同解的．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
a11 a12 L a1n
矩阵
A
a21 L
a22 L LL
a2n L
as1 as2 L asn
称为方程组（1）的系数矩阵 ;
而矩阵
a11 a12 L
第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程，得
x1 x2 5 x2 0
x3 3
这样便求得原方程组的解为
x1 x2
5 0
x3 3
或 (5,0,3).
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
2．线性方程组的初等变换
定义 线性方程组的初等变换是指下列三种变换 ① 用一个非零的数乘某一个方程； ② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； ③ 交换两个方程的位置．
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
性质 线性方程组经初等变换后，得到的线性方程 组与原线性方程组同解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如对方程组（1）作第二种初等变换:
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 LLLLL
as1 x1 as2 x2
L a2n xn LLLLL L asn xn
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
a11
于是(1)就变成
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a22 x2 L a2 n xn b2 LLLLLLLL
as2 x2 L asn xn bs
(3)
其中
aij
aij
ai 1 a11
a1 j ,
i 2,L , s, j 2,L ,n.
§3.1 2020/3/29 消元法
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
a1n b1 a2n b2 L L asn bs
称为方程组（1）的增广矩阵．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
二、消元法解一般线性方程组
1．引例 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1
1Baidu Nhomakorabea2
x1
1 2
x2
1 2
x3
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
§3.1 消元法
一、一般线性方程组的基本概念 二、消元法解一般线性方程组 三、齐次线性方程组
2020/3/29
数学与计算科学学院
一、一般线性方程组的基本概
念
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
aa2sL11xx1L1 Laa2sL22xxL22
L a2n LLLL L asn
x1 x2 x3 2 x2 x3 3
5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍，得
x1 x2 x3 2 x2 x3 3
3x3 9
第三个方程乘以 1 ，得 3
x1 x2 x3 2 x2 x3 3
x3 3
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
xn L xn
L
b2 bs
(1)
的方程组，其中x1, x2 ,L , xn 代表n 个未知量的系数，
s 是方程的个数 ; aij (i 1,2,L , s, j 1,2,L , n)
称为方程组的系数；bi (i 1,2,L , s) 称为常数项 。
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
1
3 x1 2 x2 5 x3 0
解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得
x1 2 x1
x2 x2
x3 2 3x3 1
3 x1 2 x2 5 x3 0
第二个方程减去第一个方程的2倍，
第三个方程减去第一个方程的3倍，得
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a2L2 xL2
L a2 n LLLL
b2 L bs
于是有
(a11 ka21 )c1 (a12 ka22 )c2 L (a1n ka2n )cn (a11c1 a12c2 L a1ncn ) k(a21c1 a22c2 L a2ncn ) b1 kb2 所以 (c1,c2 ,L ,cn )也是方程组（1'）的解. 同理可证的（1'）任一解也是（1）的解.
故方程组（1 ' ）与（1）是同解的.
§3.1 2020/3/29 消元法
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3．利用初等变换解一般线性方程组 （化阶梯方程组）
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
aa2sL11xxL11 Laa2Ls22xxL22
L a2n LLLL L asn
xn L xn
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们
是同解的．
§3.1 2020/3/29 消元法
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4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
a11 a12 L a1n
矩阵
A
a21 L
a22 L LL
a2n L
as1 as2 L asn
称为方程组（1）的系数矩阵 ;
而矩阵
a11 a12 L
第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程，得
x1 x2 5 x2 0
x3 3
这样便求得原方程组的解为
x1 x2
5 0
x3 3
或 (5,0,3).
§3.1 2020/3/29 消元法
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2．线性方程组的初等变换
定义 线性方程组的初等变换是指下列三种变换 ① 用一个非零的数乘某一个方程； ② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； ③ 交换两个方程的位置．
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
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如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
性质 线性方程组经初等变换后，得到的线性方程 组与原线性方程组同解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如对方程组（1）作第二种初等变换:
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 LLLLL
as1 x1 as2 x2
L a2n xn LLLLL L asn xn
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
a11
于是(1)就变成
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a22 x2 L a2 n xn b2 LLLLLLLL
as2 x2 L asn xn bs
(3)
其中
aij
aij
ai 1 a11
a1 j ,
i 2,L , s, j 2,L ,n.
§3.1 2020/3/29 消元法
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
a1n b1 a2n b2 L L asn bs
称为方程组（1）的增广矩阵．
§3.1 2020/3/29 消元法
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二、消元法解一般线性方程组
1．引例 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1
1Baidu Nhomakorabea2
x1
1 2
x2
1 2
x3
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
§3.1 消元法
一、一般线性方程组的基本概念 二、消元法解一般线性方程组 三、齐次线性方程组
2020/3/29
数学与计算科学学院
一、一般线性方程组的基本概
念
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
aa2sL11xx1L1 Laa2sL22xxL22
L a2n LLLL L asn
x1 x2 x3 2 x2 x3 3
5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍，得
x1 x2 x3 2 x2 x3 3
3x3 9
第三个方程乘以 1 ，得 3
x1 x2 x3 2 x2 x3 3
x3 3
§3.1 2020/3/29 消元法
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xn L xn
L
b2 bs
(1)
的方程组，其中x1, x2 ,L , xn 代表n 个未知量的系数，
s 是方程的个数 ; aij (i 1,2,L , s, j 1,2,L , n)
称为方程组的系数；bi (i 1,2,L , s) 称为常数项 。
§3.1 2020/3/29 消元法
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1
3 x1 2 x2 5 x3 0
解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得
x1 2 x1
x2 x2
x3 2 3x3 1
3 x1 2 x2 5 x3 0
第二个方程减去第一个方程的2倍，
第三个方程减去第一个方程的3倍，得
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a2L2 xL2
L a2 n LLLL
b2 L bs
于是有
(a11 ka21 )c1 (a12 ka22 )c2 L (a1n ka2n )cn (a11c1 a12c2 L a1ncn ) k(a21c1 a22c2 L a2ncn ) b1 kb2 所以 (c1,c2 ,L ,cn )也是方程组（1'）的解. 同理可证的（1'）任一解也是（1）的解.
故方程组（1 ' ）与（1）是同解的.
§3.1 2020/3/29 消元法
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3．利用初等变换解一般线性方程组 （化阶梯方程组）
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
aa2sL11xxL11 Laa2Ls22xxL22
L a2n LLLL L asn
xn L xn
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．