逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
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逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆
矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主
要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
1.利用定义求逆矩阵
定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）= E + A + A +…+A 1-21
-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以
(E- A )(E+A + A +…+ A )= E-A ,
21-K K 因A = 0 ,于是得
K (E-A)（E+A+A +…+A ）=E ，
21-K 同理可得（E + A + A +…+A ）(E-A)=E ，
21-K 因此E-A 是可逆矩阵,且
(E-A)= E + A + A +…+A .
1-21-K 同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A)= E -A + A +…+（-1）A .
1-21-K 1-K 由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.
K ±例2 设 A =,求 E-A 的逆矩阵.⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
30000020
0010分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以K 采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.
解 容易验证
A =， A =， A =02
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
00
0000600002003⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
00
00000000600
4而 (E-A)(E+A+ A + A )=E,所以
23
(E-A)= E+A+ A + A =
.1-23⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡10
00
310062106211
2.初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过
初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵使
S P P P ,,21 （1）A=I ，用A 右乘上式两端，得：
s p p p 211- （2） I= A s p p p 211-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单
位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A .
1-用矩阵表示（A I ）为（I A ），就是求逆矩阵的初等行变换法，−−−
→−初等行变换
1-它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行
初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=.
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡521310132解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A =.
1-⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变
换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明
=0，则A 不存在.
A 1-
例2 求A=.
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡987654321解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------107126001463000132
1 .
→⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----12100001463000132
1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.
3.伴随阵法
定理 n 阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且
ij A =
1-A 1⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n
n n A A A A A A A A A .....................212221212111其中A 是中元素a 的代数余子式.
ij A ij 矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A ，于是有A = A .
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n
n n A A A A A A
A A A (2122212)
1211131-A 1
3证明 必要性：设A 可逆，由A A =I ，有=，则=，所以1-1-AA I A 1-A I A
0，即A 为非奇异.
≠充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵
B=
，
A 1⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n
n n A A A A A A A A A .....................212221212111其中