新人教版171勾股定理第二课时2

五、利用勾股
如图，铁路上A，B两点相距25km， C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已
定理建立方程 知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一
个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的
距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km，
则 BE=（25-x）km
高
12cm
A
A 长18cm (π的值取3)
解:将圆柱如图侧面展开.在 Rt△ABC中,根据勾股定理
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152 ∴ AB=15(cm) 答:蚂蚁爬行的最短路程是15cm.
最短路程问题
展开思想（求立体图形中最短路程问题的“四步法”）
几何体的表面路径的最短的问题，一般将 立体图形展开为平面图形来计算。
2.如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画 出几条边长为 的线段?
A
3.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另 一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写 出落在x轴上的顶点坐标.
y Ｄ
x
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
五、利用勾股定理建立方程 在△ABC中，D为BC边上的高，已知 AB=15，BC=30，AC=20，求BD的长？
∵木板的宽2.2米大于1米， C ∴ 横着不能从门框通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
2 m ∴竖着也不能从门框通过．
A
1m
∴ 只能试试斜着能否通过， B 对角线AC的长最大，因此需
要求出AC的长，怎样求呢？
知识扩展 练一练
1、一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆 形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？
25+X2=X2+2X+1
X=12
A
∴X+1=12+1=13(米)
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
探究新知
荷花问题
平平湖水清可鉴,
面上半尺生红莲;
出泥不染亭亭立,
忽被强风吹一边;
渔人观看忙向前, 花离原位二尺远;
答：湖水深3.75尺.
能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
0.5
可用勾股定理建立方程.
知识扩展 练一练
如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作正方 形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的 一半为半径作圆，求三个圆的面积之间的关系。
B
A C
知识扩展 练一练
如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直
径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。
八、勾股定理应用中:航海问题
D
根据勾股定理，得
C
AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2
又 ∵ DE=CE ∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2
15
10
A x E 25-x B
∴ X=10
答：E站应建在离A站10km处。
勾股定理中 折叠问题
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前 后图形完全重合、全等，找到对应边、 对应角相等便可顺利解决折叠问题
我怎么走 会最近呢 ?
面爬行到点B,试求
出爬行的最短路程
.(π取3）
A
D
议一议：分组讨论、合作交流、动手实践。
为什么这样走最短？
两点之间线段最短
C
B
A
C
BC
B
A
A
解:如上图，在Rt△ABC中,BC＝πr＝ 9cm， ∴ AB＝
＝ ＝15 （cm）（勾股定理）． 答： 最短路程约为15cm．
B C 9cm B
2
x
x+0.5
四、利用勾股定理在数轴上表示无理数
实数
一一对应
数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
-2
-1
0
点A表示
C
D
1
2
点B表示
点C表示
点D表示
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出
的点吗？
探究1:
你能在数轴上画出表示 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
6
8
B
64
8
6B
46
A 86
5
如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在
其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，
B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
Bwk.baidu.com
A
5
A
6
8
5
5
6
46
B
8
如图,长方体的 长、宽、高分别为8 、4、2.现有一小虫 从顶点A出发,沿长方 体侧面到达顶点C,小 虫走的路程最短为多 少厘米？
A 50dm B
如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的 AC方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出A 、B两点间的距离吗？ （结果保留整数）
二、勾股定理解决梯子移动问题
一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A
沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗
题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池
的中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，
它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长
度各是多少？
解:设水池的深度AC为X米,
D
则芦苇高AD为 (X+1)米.
根据题意得: BC2+AC2=AB2
C
B
∴52+X2 =(X+1)2
蛋糕 B
C.14cm D.无法确定
周长的一半
C
６
B
8
A
８ A
开学了，小华的妈妈为她准备了一把长为85cm的雨 伞和一个行李箱，行李箱长为40cm，宽为30cm，高为 70cm，问能否把雨伞放进这个行李箱中？
B
C
A
D
A
x
30米
40米
40米
60米
60米
30米
Cx
B
X2=302+402=50
AB2=602+X2=
①展平：只需展开包含相关点的面。可能存在多种 展开法。
②定点：确定相关点的位置。
③连线：连接相关点，构建直角三角形。
④计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解
。
例1:如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点
A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(
取3）是(
)B
A.20cm B.10cm
2O
解：在RtΔOCD中，由勾股
A
D
定理得
？
.
O 1.5m C
分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能
否通过，只要看卡车位于隧道中线一
侧时，其右侧高度是否小于（ CD ）.
如何求CD呢？
连接OD，得到RtΔOCD
因为2＞1.8，高 度上有0.2米的余量， 所以卡车能通过隧道.
知识扩展 练一练
、一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂 ,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
解:如下图,将四棱柱的侧面 D1
展开,连结AC1,
A1
∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),
D
A
D1 A1
C1 B1
DC
A
B
B1
C1
B
C
如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在
其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，
B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
B
A
5
5 A
你能在数轴上表示出 的点吗？ 探究:
0
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅美丽的“ 海螺型”图案
由此可知,利用勾股定理,可以作 出长为
的线段.
111 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
第七届国际数学
教育大会的会徽
1.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角 形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等 腰Rt△ADE,…,依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边 长是______.
新人教版171勾股定理第二 课时2
问题1：请说一说勾股定理的具体内容。 A
∵ 在Rt△ABC中,
,AB=c,AC=b,BC=a,
a2+b2=c2.
①已知a、b，则c= ②已知a、c，则b= ③已知c、b，则a=
∠C=90º
cb B aC
问题2：勾股定理应用的条件有哪些？
有两种特殊的直角三角形，已知一
AB= 米
做一做
小明要外出旅游，他所带的行李箱如图 ，长40cm，宽30cm，高60cm，请问：一 把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱？
解：如图，由题意可知△ ADC 和 △ ABC都是直角三角形。
>70 ∴可以装进行李箱。
与上题的区别
如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱 长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面 上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那 么它需要爬行的最短路径是多少？
2.3
）
米
H 2米
CH = 0.6+2.3 = 2.9＞2.5 因此高度上有0.4米的余量，所以 卡车能通过厂门.
有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去 盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
D
C 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
AC=BC=50, ∴由勾股定理可知：
分析：1、厂门的宽度足够，所以卡车
C 能否通过，只要看卡车位于厂门正中间
A
1m
.
O 0.8m D
时，其高度是否小于（ CH ），要求CH
B
就必须先求（ CD 可以建立RtΔ（
），而要求出CD我们 OCD ）。
2、在RtΔOCD中，直角边OD =（0.8米
）
1米
解：在RtΔOCD中，由勾股斜定边理得OC =（
如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在 竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们: 猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
三、勾股定理解决芦苇倾斜问题
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问
2、作直线L⊥OA,在L上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与 数轴交于C点，则点C即为表示 的点。
l
B ∴点C即为表示 的点
A
0 1 2 3 C4
你能在数轴上画出表示
的点和
的点吗？
你能在数轴上画出表示
的点和
的点吗？
√ lB
B
√
A
0 1 2 3 4C
A
0 1 2 3C 4
？
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°
D
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.52
∴BC＝0.7m
由题意得：DE＝AB＝2.5m
E
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90 ° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m 答；梯子底端B不是外移0.4m
E
X
(8- X)
在Rt△EFC中
CE2+CF2＝EF2
B 6 F 4C
(8－ X)2+42=X2
解得X=5
即EF=5
七、图形中阴影部分的面积问题
2、试求下列图形中阴影部分的面积
（1）阴影部分是正方形
25cm²
（2）阴影部分是半圆
8πcm²
知识扩展 练一练
如图，分别以Rt∆ABC三边为直径向外作三个 半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，猜想S1、 S2 、S3之间有什么关系？ 请加 以说明。
边可以求另外两边长
A
A
a
c
a
c
45° Cb B
30° Cb B
a= 5 cm时求b=？c= ？
c= 6 cm时求b=？a= ？
一、勾股定理解决门框是否通过问题
一个门框尺寸如下图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
答：它们离开港口2小时后相距
甲 B
50海里.
九、利用勾股定理解决最短路径问题 日常生活中常见的垂直关系有哪些？
A
北
西
东
南
CB
1.两点之间， 线段最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长 是 圆柱的高 ,它的另一边长是 底面圆的周长 .
C
B
例1:如图所示,圆
柱体的底面直径为
6cm,高AC为12cm, 一只蚂蚁从A点出 发,沿着圆柱的侧
六、折叠问题
矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上F处，已知AB=8， BC=10，求EF的长。
解:设DE为X, 则CE为 (8－ X).
由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10
在Rt△ABF中
AB2+ BF2＝AF2
10
82+ BF2＝102
A
D
∴BF＝6
8
10
X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东南方向航
行，乙船同时以２0海里／时速度向东北方向航行
求它们离开港口２小时后相距多远？ 北 乙 A 解:2小时甲、乙各行的路程是
甲：20 2=40
西港口乙 甲 南
乙：15 2=30
东 东南方向与东北方向夹角是90
由勾股定理可知
2
2
2
AB = 40 + 30
AB=50海里
方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
变式训练： △ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高 线AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.
21 或9
S△ABC=84或36
A
17
8
8 10
6
15
6
DB
C
15
当题中没有给出图形时，应考虑图形的形
状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。