]高二数学选修4-2 矩阵与变换

M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v
2
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给定矩阵M,它把点M0变成点M0’，即把向
量 O M 0 '变成向量 向量Mv0。
O
M
0
， M把向量v0变成
对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
X’，根据矩阵变换的性质有
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
-1 0 01 返回
切变变换
11 01
10 21 返回
旋转变换
0 -1 10
01 -1 0 返回
10 00
00 11 返回
投影变换
矩阵变换是线性变换
也就是
12))A A(())AA A
A ( ) A A
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
-1 0 01
两矩阵之积之逆的几何意义
0 –1 10
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10 0 1/2
01 –1 0
10 02
线性方程组与变换
线性方程组 2 x y 1
x
3y
2
的矩阵形式 2 –1 x
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
特色
突出矩阵的几何意义 从具体到一般，从直观到抽象 用实例展示矩阵应用广泛性
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
矩阵---几何变换的代数表示
2 1
11101211(110)012
1211101200(111)111
矩阵把平面上的任一个点 ，变成 平面上的另一个点。它是一个几何变 换，
中学常见的几种几何变换的矩阵表示
恒等变换 伸压变换 反射变换 切变变换 旋转变换 投影变换
返回
伸压变换
1/2 0 01 10 0 1/2
返回
反射变换
10 0 -1
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
特征值与特征向量的意义
矩阵 1 0
0 –1
1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1 0 01
压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换