计算方法课程设计

数理学院

2014

课程

实验要求

1．应用自己熟悉的算法语言编写程序，使之尽可能具有通用性。2．上机前充分准备，复习有关算法，写出计算步骤，反复检查，调试程序。（注：在练习本上写，不上交）

3．完成计算后写出实验报告，内容包括:算法步骤叙述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结构分析和小结等。（注：具体题目

具体分析，并不是所有的题目的实验报告都包含上述内容！）4．独立完成，如有雷同，一律判为零分！

5．上机期间不允许做其他任何与课程设计无关的事情，否则被发现一次扣10分，被发现三次判为不及格！非特殊情况，不能请

假。旷课3个半天及以上者，直接判为不及格。

目录

一、基本技能训练 (4)

1、误差分析 (4)

2、求解非线性方程 (6)

3、插值 (12)

4、数值积分 (12)

二、提高技能训练 (16)

1、 (16)

2、 (18)

三、本课程设计的心得体会（500字左右） (21)

一、基本技能训练

1、误差分析

实验1.3 求一元二次方程的根

实验目的：

研究误差传播的原因与解决对策。

问题提出：求解一元二次方程2

0ax bx c ++=

实验内容：

一元二次方程的求根公式为

x ；

1x 再

实验步骤：

方程（1）：

根据求根公式，写出程序：

format long

a=1;b=3;c=-2;

x1=((-1)*b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

x2=((-1)*b-sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

运行结果：

x1 = 0.561552812808830

x2 = -3.561552812808830

然后

由符号解求的该方程的真值程序为：

syms x;

y=x^2+3*x-2;

s=solve(y,x);

vpa(s)

运行结果为：

X1= 0.56155281280883027491070492798704

X2= -3.561552812808830274910704927987

方程（2）：

format long

a=1;b=-10^10;c=1;

x1=((-1)*b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

x2=((-1)*b-sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

运行结果为：

x1 = 1.000000000000000e+010

x2 = 0

然后

由符号解求的该方程的真值程序为：

syms x;

y=x^2-10^10*x+1;

s=solve(y,x);

vpa(s)

运行结果：

X1= 10000000000.0

X2= 0.000000000116415321827

由此可知，对于方程（1），使用求根公式求得的结果等于精确值，故求根公式法可靠。而对于方程（2），计算值与真值相差很大，故算法不可靠。

改进算法，对于方程（2）:先用迭代法求x1，再用11a

，求x2

x x

c

程序为：

syms k

a=[ ];

for i=1:100

a(1)=4;

a(i+1)=(10^10*a(i)-1)^(1/2);

end

x1=a(100)

x2=1/(x1)

运行结果为：

x1 = 1.000000000000000e+010

x2 = 1.000000000000000e-010

实验结论：

对于方程（1）

都是精确的。

对于方程（2），求根公式的算法是不精确的。

原因：方程（2）用求根公式计算时，b -大数吃掉小数的误差，也出现了两个相近的数相减的误差，所以出现x2=0这样大的误差。改进的结果会比较准确。

2、求解非线性方程

实验2.1 Gauss 消去法的数值稳定性实验

实验目的：观察和理解高斯消元过程中出现小主元即()k kk a 很小时，引起方程组

解的数值不稳定性．

实验内容：求解线性方程组(1,2)i i A x b i == 其中

（1）15

10.31059.14315.291 6.1301211.29521211A -⎛⎫⨯ ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，159.1746.7812b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

（2）

210701 3 2.09999999999962 5151 0102

A

-

⎛⎫

⎪

- ⎪

=

⎪

--

⎪

⎝⎭

1

8

5.9000000000001

5

1

b

⎛⎫

⎪

⎪

=

⎪

⎪

⎝⎭

实验要求：

（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的

（2）用高斯列主元消去法求得L和U及解向量

（3）用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量

（4）观察小主元并分析对计算结果的影响

实验步骤：

（1）计算矩阵的条件数程序：

矩阵A1：

A1=[0.3*10^(-15) 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1];

cond(A1,1)

cond(A1,2)

cond(A1,inf)

运行结果：

ans = 136.294470872045e+000

ans = 68.4295577125341e+000

ans = 84.3114602051800e+000

由矩阵条件数判断出矩阵A1是病态矩阵。

矩阵A2：

A2=[10 -7 0 1;-3 2.0999******* 6 2;5 -1 5 -1;0 1 0 2];

cond(A1,1)

cond(A1,2)

cond(A1,inf)

运行结果：

ans = 19.2831683168042e+000

ans = 8.99393809015365e+000

ans = 18.3564356435280e+000

由矩阵条件数判断出矩阵A2是病态矩阵。

（2）高斯列主元消去法程序：

方程组（1）：

A1=[0.3*10^(-15) 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1];