(优选)二阶线性偏微分方程的分类与总结.
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相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双
曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域
Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。
Leabharlann Baidu
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
举例：y
2u x 2
2u y 2
0
容易看出，如果点(x0，y0)上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个 点上方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域 内表现为抛物型。
按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导 方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道，以上 三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明 了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
J D( ,) x y
4.4
D(x, y) x x
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
x x( ,), y y( ,) 4.5
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 4.1
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
方程(4.1)的二阶导数项 a11uxx 2a12uxy a22u yy 4.2
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。
为此我们作下面的自变量变换
(x, y), (x, y) 4.3
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
Q(l, m) a11l 2 2a12lm a22m2 0
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a11u 2a12u a22u b1u b2u cu f 4.6
运用复合函数的求导法则
a11 a112x 2a12xy a222y a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 4.7
a22 a112x 2a12xy a222y
若方程(4.1)的主部系数 a11, a12 , a22 在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
a122 a11a22 0,
u u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
u u Au Bu Cu D
4.12
4.13 4.14
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果 我们能选择到方程
a11x2 2a12xy a22y2 0 4.8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
dy dx
(a12
dy dx
(a12
a122 a11a22 ) / a11 a122 a11a22 ) / a11
4.10 4.11
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122 a11a2的2 符号不同，我们可以选取相应的变
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
（优选）二阶线性偏微分方程 的分类与总结.
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双
曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域
Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。
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§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
举例：y
2u x 2
2u y 2
0
容易看出，如果点(x0，y0)上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个 点上方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域 内表现为抛物型。
按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导 方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道，以上 三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明 了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
J D( ,) x y
4.4
D(x, y) x x
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
x x( ,), y y( ,) 4.5
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 4.1
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
方程(4.1)的二阶导数项 a11uxx 2a12uxy a22u yy 4.2
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。
为此我们作下面的自变量变换
(x, y), (x, y) 4.3
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
Q(l, m) a11l 2 2a12lm a22m2 0
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a11u 2a12u a22u b1u b2u cu f 4.6
运用复合函数的求导法则
a11 a112x 2a12xy a222y a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 4.7
a22 a112x 2a12xy a222y
若方程(4.1)的主部系数 a11, a12 , a22 在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
a122 a11a22 0,
u u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
u u Au Bu Cu D
4.12
4.13 4.14
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果 我们能选择到方程
a11x2 2a12xy a22y2 0 4.8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
dy dx
(a12
dy dx
(a12
a122 a11a22 ) / a11 a122 a11a22 ) / a11
4.10 4.11
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122 a11a2的2 符号不同，我们可以选取相应的变
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
（优选）二阶线性偏微分方程 的分类与总结.
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。