第10章 结构的动力计算
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48EI
1
m
48EI ml3
§10-2 单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期 解 （1）水平振动 当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
st
Wl 3 3EI
T 2 Wl3
3EIg
（2）竖向振动
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
st
Wl EA
T 2 Wl
k m
通解
y C1 cost C2 sin t
代入初始条件
y0 y0 y0 v0
得动位移为
y(t)
y0
c ost
v0
sin t
§10-2 单自由度体系的自由振动
将动位移表达式改写成单项式
y(t) a sin t
a
y02
v0
2
——振幅（amplitude of vibration）
2004年8月
§10-2单自由度体系的自由振动
1 振动方程的建立
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt kyt 0
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
y t my t my t
k
§10-2来自百度文库单自由度体系的自由振动
2 振动方程的解
将振动微分方程改写为
yt 2yt 0
yt
F
sint
F
sin t
m 2 2
m 2 2
瞬态振动
稳态振动—特解
由于阻尼的存在很快消失
§10-3 单自由度体系的强迫振动
考虑稳态振动
y t Asint F
m 2 2
sin t
F
m2 (1
2 2
)
sin
t
F k
1
1
2 2
yst sin t
A yst
yst
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
2 动荷载的分类 ◆第一类——周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。
非简谐性的周期荷载 t
FP (t) FP
典型的周期荷载是 简谐荷载。机器转
t 简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示
动部分引起的荷载 属于2简00谐4年荷8载月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第二、广义质量法
具有分布质量的简支梁的挠度曲线。
y x
k 1
ak
sin
k
l
x
通常只取级数的前n项。
y x x2 a1 a2x anxn1
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第三、有限元法
y x y11 x 12 x y47 x 48 x
F
m 2
F k
F
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
1
2 2
A yst
动力系数
§10-3 单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
0 1， 1
动力系数随频率比增加而增加。
1，
产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。
1
动力系数的绝对值随频率比增大而减小。
圆频率 2π个单位时间内完成振动的次数
2 2 f
T
§10-2 单自由度体系的自由振动
计算公式的几种形式
1 2 1 k 3 m W g 4 W st
k m 1 m g W g st
T 2 m k T 2 m T 2 W g T 2 st g
§10-2 单自由度体系的自由振动
EAg
§10-3 单自由度体系的强迫振动
1 简谐荷载
刚度法 体系在惯性力和动荷载的 共同作用下处于动态平衡。
myt kyt FP t
FP (t) F sint 将振动微分方程写成
y t 2 y t F sin t
m
——二阶常系数非齐次方程
§10-3 单自由度体系的强迫振动
非齐次特解 y *t Asin t
第10章 结构的动力计算
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7
动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 阻尼对振动的影响 两个自由度体系的自由振动 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 小结
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
tan1 y0
v0
——初始相位角
§10-2 单自由度体系的自由振动
3 结构的自振周期和圆频率※※ （natural period and natural circular frequency ）
几个定义
y
周期 完成一次振动需要的时间
T 2
a t 频率 单位时间内完成振动的次数
f 1 2 T
将特解代入方程,得
A
F
m(2
2
)
齐次通解 y t C1 sint C2 cost
全解为
yt
y t
y *t C1 sint C2 cost m
F
2 2
sin t
§10-3 单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y0 0
C2 0;
y0 0
F C1 m 2 2
自振周期的特性 （1）自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界因素无关。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比。 （3）自振周期相近的体系，动力性能基本一致。
§10-2 单自由度体系的自由振动
例题1 求图示 简支梁的自振周期和圆频率
解 对于竖向振动，柔度系数为
l3
48EI
T 2 m 2 ml3
1 结构动力计算的特点 ◆动荷载与静荷载的区别 动荷载(大小、方向、作用位置）随时间变化。 ◆动力计算与静力计算的区别 (1)平衡方程中包括惯性力。 (2)平衡方程是瞬间平衡,荷载和内力都是时间的函数
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微 ——按静荷载考虑；
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大 ——按动荷载考虑.
◆第二类——冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。
FP (t)
FP
FP
tr
t
td t
各种爆炸荷载属于这一类 2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆第三类——随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定。
某次地震波时程 地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
3 动力计算中体系的自由度 自由度:为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位
置所需确定的独立几何参数的数目. 动力体系的简化方法
第一、集中质量法
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
自由度的个数与集中质量的个数不一定相等 一个集中质量，两个自由度 2004年8月
1
m
48EI ml3
§10-2 单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期 解 （1）水平振动 当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
st
Wl 3 3EI
T 2 Wl3
3EIg
（2）竖向振动
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
st
Wl EA
T 2 Wl
k m
通解
y C1 cost C2 sin t
代入初始条件
y0 y0 y0 v0
得动位移为
y(t)
y0
c ost
v0
sin t
§10-2 单自由度体系的自由振动
将动位移表达式改写成单项式
y(t) a sin t
a
y02
v0
2
——振幅（amplitude of vibration）
2004年8月
§10-2单自由度体系的自由振动
1 振动方程的建立
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt kyt 0
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
y t my t my t
k
§10-2来自百度文库单自由度体系的自由振动
2 振动方程的解
将振动微分方程改写为
yt 2yt 0
yt
F
sint
F
sin t
m 2 2
m 2 2
瞬态振动
稳态振动—特解
由于阻尼的存在很快消失
§10-3 单自由度体系的强迫振动
考虑稳态振动
y t Asint F
m 2 2
sin t
F
m2 (1
2 2
)
sin
t
F k
1
1
2 2
yst sin t
A yst
yst
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
2 动荷载的分类 ◆第一类——周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。
非简谐性的周期荷载 t
FP (t) FP
典型的周期荷载是 简谐荷载。机器转
t 简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示
动部分引起的荷载 属于2简00谐4年荷8载月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第二、广义质量法
具有分布质量的简支梁的挠度曲线。
y x
k 1
ak
sin
k
l
x
通常只取级数的前n项。
y x x2 a1 a2x anxn1
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第三、有限元法
y x y11 x 12 x y47 x 48 x
F
m 2
F k
F
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
1
2 2
A yst
动力系数
§10-3 单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
0 1， 1
动力系数随频率比增加而增加。
1，
产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。
1
动力系数的绝对值随频率比增大而减小。
圆频率 2π个单位时间内完成振动的次数
2 2 f
T
§10-2 单自由度体系的自由振动
计算公式的几种形式
1 2 1 k 3 m W g 4 W st
k m 1 m g W g st
T 2 m k T 2 m T 2 W g T 2 st g
§10-2 单自由度体系的自由振动
EAg
§10-3 单自由度体系的强迫振动
1 简谐荷载
刚度法 体系在惯性力和动荷载的 共同作用下处于动态平衡。
myt kyt FP t
FP (t) F sint 将振动微分方程写成
y t 2 y t F sin t
m
——二阶常系数非齐次方程
§10-3 单自由度体系的强迫振动
非齐次特解 y *t Asin t
第10章 结构的动力计算
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7
动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 阻尼对振动的影响 两个自由度体系的自由振动 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 小结
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
tan1 y0
v0
——初始相位角
§10-2 单自由度体系的自由振动
3 结构的自振周期和圆频率※※ （natural period and natural circular frequency ）
几个定义
y
周期 完成一次振动需要的时间
T 2
a t 频率 单位时间内完成振动的次数
f 1 2 T
将特解代入方程,得
A
F
m(2
2
)
齐次通解 y t C1 sint C2 cost
全解为
yt
y t
y *t C1 sint C2 cost m
F
2 2
sin t
§10-3 单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y0 0
C2 0;
y0 0
F C1 m 2 2
自振周期的特性 （1）自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界因素无关。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比。 （3）自振周期相近的体系，动力性能基本一致。
§10-2 单自由度体系的自由振动
例题1 求图示 简支梁的自振周期和圆频率
解 对于竖向振动，柔度系数为
l3
48EI
T 2 m 2 ml3
1 结构动力计算的特点 ◆动荷载与静荷载的区别 动荷载(大小、方向、作用位置）随时间变化。 ◆动力计算与静力计算的区别 (1)平衡方程中包括惯性力。 (2)平衡方程是瞬间平衡,荷载和内力都是时间的函数
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微 ——按静荷载考虑；
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大 ——按动荷载考虑.
◆第二类——冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。
FP (t)
FP
FP
tr
t
td t
各种爆炸荷载属于这一类 2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆第三类——随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定。
某次地震波时程 地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
3 动力计算中体系的自由度 自由度:为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位
置所需确定的独立几何参数的数目. 动力体系的简化方法
第一、集中质量法
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
自由度的个数与集中质量的个数不一定相等 一个集中质量，两个自由度 2004年8月