第三章--中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用

教学目的：

1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌

握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和

斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；

2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；

3、函数图形的凹凸性；

4、洛必达法则。 教学难点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；

2、极值的判断方法；

3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；

4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理

一、罗尔定理

费马引理

设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.

罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.

简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.

(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是

)

()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x ,

)

()(lim )()(≤--='='+

→+

ξξξξξx f x f f f x ,

所以f '(x )=0.

罗尔定理的几何意义:

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在

(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ

f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )

成立.

拉格朗日中值定理的几何意义:

f '(ξ)=a b a f b f --)()(,

定理的证明: 引进辅函数

令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ).

容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且

ϕ '(x )=f '(x )-a b a f b f --)

()(.

根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即

f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 a b a f b f --)()(= f '(ξ) ,

即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.

f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b

设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得

f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).

如果记f (x )为y , 则上式又可写为

∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).

试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.

作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:

定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1

f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).

由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即

f (x 2)=f (x 1).

因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.

例2. 证明当x >0时, x

x x x <+<+)1ln(1.

证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有

f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ

由于f (0)=0,

x x f +='11

)(, 因此上式即为

ξ+=+1)1ln(x

x . 又由0<ξ

x

x x x <+<+)1ln(1.

三、柯西中值定理

设曲线弧C 由参数方程

⎩⎨

⎧==)()(x f Y x F X (a ≤x ≤b )