《运筹学》整数规划

x12 x13
x22 x23
x32 x33
x42 x43
1 1
x14 x24 x34 x44 1
变量约束：
xij 0或1，i、j 1,2,3,4
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整数规划的特点及应用
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整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解 集合的一个子集，任意两个可行解的凸组合不一定 满足整数约束条件，因而不一定仍为可行解。
Chapter5 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 分配问题与匈牙利法
整数规划的特点及应用
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整数规划（简称：IP）
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整 数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
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minz
c xij ij [1200y1 1500y2 ]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12
x22
x32
x42
400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
s.t
x11 x21
x12 x22
x j 0
( j 1,2,...,n) 对项目j不投资
投资问题可以表示为：
n
max z c j x j j1
n
ajxj
B
j1
x2
x1
s
.t
x
3
x4
1
x5 x6 x7 2
x
j
0或者1
（j 1,2,
n）
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例5.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
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设
1
xij 0
数学模型如下：
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150源自文库
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万 元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用 最少。
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整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可 行解（反之不一定），但其最优解的目标函数值不 会优于后者最优解的目标函数值。
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例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14x1 9 x2 51
6
x1
3x2
1
x1
,
x2
0且为整数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取 整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整 数线性规划。
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整数规划的典型例子
例5.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
为松弛问题）。
max Z x1 x2
14x1 9 x2 51
6 x1 3 x2 1
x1
,
x2
0
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用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，
x2
⑴
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
1 若建工厂 yi 0 若不建工厂 (i 1,2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示 总费用，单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
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解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此
分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
1 对项目j投资
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x x
21 31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x21 x31 x41 1
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
max Z(或minZ ) c j x j j1
n
aij x j
bi
(i 1.2 m)
j1
x j 0 (j 1.2 n)且部分或全部为整数
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整数线性规划问题的种类：
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数 值的整数线性规划。
x13 x23
x14 x24
400 600
x
31
x32
x33
x34
200 y1
x41 x42 x43 x44 200y2
x
i
j
0
(i, j 1,2,3,4)
yi 0,1 (i 1,2)
Page 6 混合整数规划问题
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例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
它们都不可能是整数规划的最优