人教版高中数学必修一课件：2.2 基本不等式1(共17张PPT)

结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
学习新知
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
法
①
要证①，只要证 a b _2__a_b_≥0
②
(a 0,b 0, a ( a)2,b ( b)2)
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
学习新知
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
x
因此所求的最小值为 2
变式1：把 x 0 改为 x 0 成立吗？ 不成立
变式2：把 x 0 改为 x 2 成立吗？不成立
典型例题
均值不等式的运用
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
∴1-2x>0.
∴ x(1-2x)=12 ∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[ 2x+(21-2x)
]2
=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即
x=
1 4
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数
x(1-2x) 的最大值是
18.
2
已知x>0,y>的最小值．
32 2
3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是1__8_.
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
学习新知
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2
当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0 所以a2 b2≥2ab.
学习新知
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
学习新知 证明不等式：a b≥ ab (a 0,b 0)
2
证明：要证 a b≥ ab
分 析
只要证 2 a b≥_2___a_b__
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
解：因为 x>0,y>0，所以 x y xy 2
(1)当积 xy=P 为定值时， x y p 所以 x+y≥2 p
2
当且仅当 x=y 时上式等号成立,于是当 x=y 时，x+y 有最小值 2 p
(2) 当积 x+y=S 为定值时， xy S 所以 xy≤ s2
新课引入
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
新课引入
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
正方形和直角三角形
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
新课引入
D
a2 b2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
“=”成立条件
a=b
a=b
注意从不同角度认识基本不等式
典型例题
均值不等式的运用
例１．已知x>0 ，求 x 1 的最小值和此时
x的取值．
x
解：因为 x>0，所以 x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当 x 1 ，即 x2 1, x 1 时等号成立
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
课堂小结
1. 重要不等式 (1)a,b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
2. 基本不等式
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
3. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
①各项皆为正数； 一“正” ②和或积为定值； 二“定” ③注意等号成立的条件. 三“相等”
巩固练习
1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
并说明此时x,y的值当．x=6,y=4时,最小值为48
2.已知x<0，求 x 2 的最大值. 2 2
3.
求x＞ -1时，x
1
x
的最小值.
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
学习新知
填表比较：
a2 b2≥2ab
适用范围
a,b∈R
a b≥ ab 2
2
4
当且仅当 x=y 时上式等号成立,于是当 x=y 时，xy 有最大值 s2 4
归纳总结
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
利用基本不等式求最值时，要注意
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
a 2
面积S=＿＿＿＿＿
b
2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿＿2ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′
问：那么它们有相等的情况吗？
学习新知
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
解: ∵ x＞-1, ∴x+1>x0.
∴ x+
1 x+1
=(x
+1)+
1 x+1
-1≥2
(x+1)∙
1 x+1
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 取最小值是 1.
提高练习
1.
若
0<x<
1 2
,
求
x(1-2x) 的最大值.
解:
∵0<x<
1 2
,