特征函数

特征函数极其简单应用

作 者:马胜栋 指导教师:魏瑛源

(河西学院数学与应用数学专业2011级1班 学号1150901327,甘肃张掖 734000)

摘要 在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表 示出一般的随机变量的统计规律.是研究随机变量的重要工具.本文给出了特征函数的基本概 念、主要性质以及特征函数的一系列应用.

关键词 随机变量;特征函数; 特征函数的应用

1.引言

随机变量是人们生活和数学研究中经常遇到的一项重要内容.而随机变量的分布函数则可以全面的描述随机变量的统计规律.但是有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便.如求独立随机变量和的分布密度，用卷积公式求解太烦琐和复杂.本文将从介绍特征函数的定义、性质出发，来介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布，并在随机变量的基本性质引导下，讨论并阐述特征函数的各种应用，以及一些相关定理的证明.借以加深大家对特征函数及其应用的认识.

2.特征函数的定义及性质

2.1特征函数的定义

1.随机变量X 的特征函数是由X 组成的一个新的随机变量j x e ω的数学期望

()

()()cos()sin()j x

E e

E x iE x ωωωω=+-∞<<+∞，

(其中，21i =)为随机变量X 的特征函数，记()ϕω. 2.离散型随机变量和连续型随机变量的特征函数分别表示为

(){}()=i

j x j X i i

E e e P X x ωωϕω=⋅=∑

()()()j X

j x X E e

e f x dx ωωϕω+∞

-∞

==⎰

2.2特征函数的主要性质

(1)设1X ，2X 的特征函数分别为()1ϕω，()2ϕω,又1X 与2X 相互独立，则12X X X =+的特征函数为

()()()12ϕωϕωϕω=⋅.

(2)设随机变量X 有l 阶矩存在，则X 的特征函数()ϕω可微分l 次，且对k l ≤，有

()()0()k k k i E X ϕ=

(3) 设()ϕω是X 的特征函数，则aX b η=+的特征函数为

()()()=i aX b ib aX b Ee e a ωωϕωϕω++=.

2.3几种常见分布的特征函数

(1)离散型分布 设X 服从离散分布，则(){}()=i

j x j X i i

E e e

P X x ωωϕω=⋅=∑.

(2) 泊松分布 设X 服从泊松分布，则

证明[]1

由特征函数的定义可得

()()=Ee e i x i x f x dx ωωϕω+∞

-∞

=⎰

令

()it x y λ-=,则

推论 设(),X

αλΓ，则有

)

(1k

k αλ+-,,,

n X ),2,

,n 是n 的分布为(,i N a σ

由特征函数的性质()()1

n

j j ϕωϕω==∏可知X 的特征函数为

若12,,X X 是一列独立同分布的随机变量，且22(),()(0),1,2,

k k E X a D X k σσ==>=

则有

(),0k k n q

n n P k C p q k n μ-==≤≤

的随机变量.

了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化和完善.

参考文献

[1]孙俊锁.Gamma分布的特征函数及点估计[J].鞍山钢铁学院学报.2001,24(2):126-129.

[2] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M]. 北京: 高等教育出版社.1983.

[3] 王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京:北京师范大学出版社.1996.

[4] 杨振明.概率论[M].北京:科学出版社.2004.