二次函数的图像和性质第五课时5

的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐 标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ① 2 4 m 1 3 m 2 2 m 0 4 m 1 ②
1 由②解方程得 m1 , m2 2 不合题意，舍去 2
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为 2 y a x h k 的形式。
例1
1 2 5 用配方法把 y 2 x 3x 2
2
化为
y a x h k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
1 2 1 2 1 5 2 解： y x 3x x 6 x 5 2 x 6 x 9 9 5 2 2 2 1 2 1 2 x 3 4 x 3 2 2 2
2 y ax bx c 的顶点坐标是 所以抛物线
b 4ac b 2 , 2 a 4 a
b ，对称轴是直线 x 2a
。
1 2 5 例2 用公式法把 y x x 化为 2 2 2 y a x h k 的形式，求出对称轴和顶点
2
4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课 我们复习了将抛物线 y 3x2 向左平移2个单位 2 再向下平移5个单位就得到 y 3 x 2 5 的图 象，将 y 3 x 2 2 5 化为一般式为 2 2 ，那么如何将抛物线 的图 y 3 x y 3x 12 x 7 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？ 那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1 1 2 1 所求函数解析式为 y 1 x 2 x 3 2 , 2 2 2
1 2 1 即y x x 。 2 2
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
（4,－6）
·
练习3 画出 y x 2 x 2 的图像。
2
x y
… …
－1 5
0 2
1 1
2 2
3 5
… …
y=x2－2x＋2
x=1
2 y ax bx c 的性质： 4．二次函数
（1）顶点坐标
b 4ac b 2 , ; 4a 2a
（2）对称轴是直线
2
2 2 2 b b b c a x x a a 2a 2a 2 2 2 2 b 4 ac b b 4ac b a x a x 2 2a 4a 2a 4a
④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
y 2 x 2 8x 1 2 x 2 4 x 1 2 x 2 4 x 4 4 1
化为 y a x h k 的形式。
2
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 数图像回答：
的图像，利用函
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
练习2 用公式法把y 2 x 8x 6 化成
2
y a x h k 的形式，并求出顶点坐标和
2
对称轴。
y 2 x 2 2 ，顶点坐标为 答案： （2，2）对称轴是直线 x＝2
2
3． y ax2 bx c 图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把 y ax2 bx c
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
判断a的符号
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
练习1 用配方法把 y 2 x2 4 x 7化为
y a x h k 的形式，求出顶点坐标
2
和对称轴。 答案：y 2 x 1 5 ，顶点坐标是(1，5)， 对称轴是直线 x＝1．
2
2 y ax bx c 化为 2．用公式法把抛物线
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
解法二：
1 a 0 ，∴抛物线开口向下， 2
b 2a 3 3 1 2 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时， y随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
y m 1 x2 2mx 3m 2 m 1
26.1 二Hale Waihona Puke Baidu函数图象和性质(5)
复习提问
y a x h k 的顶点坐标是________ 1． ， （h，k） 直线x＝h 对称轴是__________ 2．怎样把 y 3x2的图象移动，便可得到 2 y 3 x 2 5 的图象？
2
3． y 3 x 2 5 的顶点坐标是(－2，－5) ， 对称轴是直线 x＝－2 ．
把 y ax bx c 变形为 y a x h k 的方法 和我们前面学过的用配方法解二次方程 2 ax bx c 0 ”类似．具体演算如下： “
2
2
y a x h k 的形式。
2
c 2 b y ax bx c a x x a a
解： (1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断b的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以
b 0 ，而a＜0，故b＞0； 2a
判断c的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点 的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正 半轴，即c＞0；
判断b2－4ac的符号
2 2
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。 总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
1 2 1 例6已知函数 y x 3x 2 2
，当x为何值 时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
1 解法一： a 2 0
， ∴抛物线开口向下，
1 2 1 1 2 1 y x 3 x x 6x 9 9 又 2 2 2 2 1 9 1 1 x3 2 5 2 x 3 2 2 2 2
坐标．
1 2 5 解：在 y x x 2 2
b 2a 1 1, 1 2 2
1 5 a , b 1, c 中， 2 2
1 2 y x 1 2 ， 2 ∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
1 5 2 4 1 2 4ac b 4 2 2 2 4a 2 1 4 2
2 x 2 7 7
2
y最小值＝－7 。 所以当x＝2时，
解法二（公式法）： 因为a＝2＞0，抛物线 y 2x2 8x 1有最低点， 所以y有最小值，
4 2 1 8 b 8 4ac b 7 因为 － 2a 2 2 2, 4a 4 2
2 y 2 x 8x 6 0 解：列表
x y
… 0 1 … －6 0
2 2
3 4 0 －6
… …
y
（1,0）
· · ·
（2,2）y
2x 8x 6
2
（0,－6）
·
由图像知： （3,0） (1) 当 x ＝ 1 或 x ＝ 3 时， x y＝ 0； (2)当1＜x＜3时， y＞ 0； (3)当x＜1或x＞3时， y＜ 0； x=2 (4)当x＝2时， y有最大值2。
2a 2 1
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 2 2 4 1 k 7 k 4 即 4ac b 0 ，整理得
4a 4 1
k 2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所
以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。
b ①若a＞0，当 x 时，y随x的增大而增大； 2a
b 当 x 2a 时，y随x的增大而减小。
b ②若a＜0，当 2a 时，y随x的增大而减小； b 当 x 2a 时，y随x的增大而增大。 x
(6)抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点 ①抛物线 y ax2 bx c 与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线 y ax2 bx c与x轴的交点坐标为
x1 ,0 , x2 ,0，其中 x1 , x2为方程 ax2 bx c 0
的两实数根
(7)抛物线 y ax bx c 与x轴的交点情况
2
可由对应的一元二次方程ax 2 bx c 0
的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
x b 2a
，故
①若b＝0对称轴为y轴， ②若a，b同号对称轴在y轴左侧， ③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
b x 2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开 口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值： b 如果a＞0，当 x 2a 时，函数有最小值，
b 如果a＜0，当 x 2a 时，函数有最大值， 2
4ac - b y最大＝ ; 4a
4ac - b 2 y最小＝ , 4a
（5）增减性：
例4 已知抛物线
y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y ＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7 ，所以k＝ －7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点； ②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0， k 4 b 即 0 ，所以k＝－4，所 以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。