圆锥曲线教材分析(王秀彩)

y2 b2
1(a
b 0)
圆的方程为(x m)2 y2 r2 (0 r b, 0 m a)
则当m [a2 b2 , a) ，r (0, b2 ]时，椭圆与圆切于一点。
a
a
【生成六】解析几何中的抛物线和物理中的抛物线以及代 数中二次函数的图象本质上是一回事吗？如何解释呢？
可以从方程的角度解释。
（1）重经验也重体验 【案例一】椭圆的生活引入
油罐车
天体运行
中国水利水电科学研究院研究表明：
拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计， 无论从力学原理，还是从施工角度考虑 都是优越于传统的圆弧型的。
设计意图：
体验“生活中 有椭圆，生活 中用椭圆”。
（2）重结果也重过程 【案例二】椭圆的概念建构 【问题一】你会画椭圆吗？画一个试试。
理科 16课时
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线
2课时 5课时 3课时 4课时
小结
2课时
文科 12课时
2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线 小结
4课时 3课时 3课时 2课时
二、教学建议
1、注重概念的获得
操作 表象 定义 运用 体系
辨别 分化 类化 抽象 检验 概括 形式化
【案例三】课本P40例1的处理
已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且
经过点 (5 , 3) ，求它的标准方程。
22
分析：
（1）所求椭圆的标准方程应该是什么样子？为什么？x2
a2
y2 b2
1
设计意图：
1）养成“从结论入手”的分析习惯；
2）依据“求谁设谁”的解题策略；
3）形成“先定位，再定量”的解题意识。
【生成二】平面内到两定点距离之积是常数的动点轨迹是什么？
设两定点为A,B,AB=2c,动点M满足MA·MB=a2(a>0) 当a<c时，图象分为两支，随着a的减小而分别向A,C收缩。 当a=c时的分支，成8形自相交叉。 当c<a< 2 c时，图象是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有 凹进的细腰。 当a= 2c时，与前种情况一样，但曲线中部变平。 当a> 2c时，曲线中部凸起。 ——卡西尼卵形线
【生成三】平面内到两定点距离之比是常数的动点轨迹是什么？
如图所示，A、B为定点，M到A和B的距离之比为k， 如果k=1，那么M的轨迹为线段AB的中垂线； 如果k≠1，那么M的轨迹为一个圆——阿波罗尼斯圆。
【生成四】为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？
如何在圆锥曲面上 截出椭圆、双曲线 以及抛物线？如何 证明呢？
几 何 问题 (点、线)
建立坐标系
代数问题 (数对、方程)
返回几何
返回
代数方法 代数解决
（2）强调几何背景。
例如，与原课程相 比，新课程更强调圆锥 曲线的来龙去脉，更强 调其几何背景。
（3）强调学生发展的需要。
例如，新课程改变了原来的缺乏层次、要求 单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次。 如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生， 更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全 面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。 这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发 展与需要。
结论：需要满足三个条件：
（1） | MF1 | | MF2 | 2a ； （2） 2a | F1F2 |2c ；
（3）平面内。
设计意图： 1）在操作中感受椭圆形状的变化，体验“极端化”思想 ； 2）在互动中使表象逐步趋于清晰，为正确概念的形成铺垫。
【问题五】你能据此用自己的语言给椭圆下个定义吗？
（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的 思想。
（5）了解圆锥曲线的简单应用，能用坐标法解决一些与圆 锥曲线有关的简单几何问题。
课标要求（理）
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实 世界和解决实际问题中的作用。
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程， 掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；
（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲 线的有关性质。
（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题 和实际问题。
（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 （6）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程 的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
4、《圆锥曲线与方程》内容与课时安排
【生成七】任意两个圆都是相似的。 任意两个椭圆则未必相似。 任意两个抛物线相似吗？为什么？ 任意两个双曲线呢？
允许生成 善待生成 鼓励生成
任意两个抛物线一定相似；任意两个双曲线则未必。
2、注重例题的选讲
（1）对教材选定的例题“慎删减，多求变” （2）对解题思路的分析“少告诉，多引导” （3）对解题过程的书写“先自求，再对照” （4）对解题之后的反思“勤迁移，多总结”
3 【解析】因为点B与点A（-1,1）关于原点O对称，
所以点B的坐标为（1,-1 ）
设点 P 的坐标为 (x, y) ，由题意得 y 1gy 1 1
x 1 x 1 3
化简得 x2 3y2 4(x 1)
故动点P 的轨迹方程为 x2 3y2 4(x 1) 五步法
【总结1】求曲线的方程 【方法三】五步法（上述两种问题以外的问题） 第一步，建系，设点； 第二步，由限制条件列出几何表达式； 第三步，坐标代入，化为代数表达式； 第四步，化简； 第五步，增、失根的说明。
设计意图： 1）让学生参与课堂； 2）为后续的教学提供素材。
【问题二】你确定你画的是椭圆吗？你是如何确定的？
设计意图： 引起认知冲突，提高问题意识，优化理性思维。
【问题三】拿出准备的工具，按下面指令操作：
1）取一条细线，一张纸板； 2）在纸板上取两点分别标上F1、F2 ；
3）把细线的两端分别固定在F1、F2 两点； 4）用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形。
1
所以 a2 k,b2
k , c2 3k
2
2
，又
2
c3
所以 3k 9，k 6
2
综上，k 6
【例5】（2011门头沟一模理12.）设双曲线 x2 y 2 1 a2 b2
的一条渐近线与抛物线 y x2 1 只有一个公共点，则
双曲线的离心率等于
和
1,
3 2
。
答案：x2 y2 1 4
设计意图：
通过上面两个小题，让学生明白：
1）即使椭圆的焦点位置不定，也不一定总有两组解；
2）当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，但 也要能根据场合适当地“避免讨论”。
如第（2）小题可以将椭圆的方程统一设为
Ax2 By2 1 A, B 0
3、注重思想方法的渗透
2）当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识。
思考：当椭圆焦点所在轴不定时，是否总可以“只求出一种 情况，再交换a,b的值”即可呢？
【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=3b,且经过点P（3，0）；答案：x2 y2 1或 y2 x2 1
9
81 9
（2）经过两点
3 2
,
7 4
【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=1,焦点在x轴上；
答案：x2 y2 1 16
（2）a=4,c=
15,焦点在y轴上；
答案：y2 x2 1 16
（3）a+b=10, c= 2 5。
答案：x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
设计意图：
1）进一步巩固“先定位，再定量”的解题意识；
（1）坐标法与数形结合思想 （2）类比思想 （3）待定系数法与方程思想 （4）模式识别与程序化思想
（4）模式识别与程序化思想
【例1】（2011年北京高考文19）.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a
b 0）
的离心率为 6 ，右焦点为（2 2，0），求椭圆的方程。 3
解：由已知得
c a
6 3
c 2 2
【总结1】求曲线的方程 【方法二】代入法（相关动点问题）
第一步，设终动点为（x,y），始动点为（x0,y0）； 第二步，列出始动点与终动点之间的变化关系式 以及始动点满足的关系式；
第三步，用x,y表示x0,y0，代入x0,y0满足的关系 式即得曲线的方程。
【例3】(2010年北京高考理19)在平面直角坐标系xOy中， 点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与 BP的斜率之积等于 1 ，求动点P的轨迹方程。
(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. y
分析：设M（x,y），A（x0,y0），则有：
x0 y0
4 3
2 2
x y
(*)
A o
(x0 1)2 y02 4 (**)
B M
x
由
x0 y0
4 3
2x 2y
得
代入法
x0 y0
2x -4 2y -3
代入（**）即可
（2）已知有哪些？如何根据已知求a,b的值呢？求解对照。 设计意图： 1）渗透方程思想，拟定解题方案； 2）求解对照，寻求异同，并思考其必要性。
（3）你还能用其他方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有 什么体会？
设计意图： 再次巩固“待定系数法”。此处至少要让学生明白两点： 第一，不仅定义可以解决问题，椭圆的标准方程也能； 第二，用“标准方程”解题过程更简明，程序更简单。
设计意图： 1）培养学生语言互译能力以及语言组织能力； 2）初步形成椭圆的概念。
（3）重预设也重生成
没有预设的教学是盲目的， 唯有不断生成的教学才可能是鲜活的！
【生成一】对于问题“你会画椭圆吗？画一个试试。”
1）随手画； 2）用绘图板画； 3）将圆同比例拉伸或压缩； 4）用斜二测画法画圆的直观图； 5）用定义； 6）用圆锥曲面截； 7）用圆柱曲面截； 8）用手电筒照射球描投影。
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数（大于
| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注：若 | PF1 | | PF2 || F1F2 | ,则P点的轨迹为椭圆.
若 | PF1 | | PF2 || F1F2 | ,则P点的轨迹为线段. 若 | PF1 | | PF2 || F1F2 | ,则P点的轨迹不存在.
圆锥曲线教材分析
北京市第九十四中学 王秀彩
2012-10-29
一、教材分析
1、平面解析几何的教学内容安排
必修2 直线和圆 选修1-1 圆锥曲线与方程 选修2-1 圆锥曲线与方程 选修4-4 坐标系与参数方程
2、平面解析几何的教材编写意图
（1）强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法。 学习和体会用解析几何解决问题的“三部曲”。
你画出的图来自百度文库象什么？如果把笔尖记作动点M，你能写出
动点M满足的条件吗？
| MF1 | | MF2 | 2a
设计意图：
1）感受椭圆的一种“新”画法；
2）抽象出椭圆的本质属性，并将其符号化，初步形成表象。
【问题四】满足 | MF1 | | MF2 | 2a 的动点M的轨迹一定是 椭圆吗？变换线的长度画画看。得出结论后前后左右交流。
，解之得a 2 3 c 2 2
所以b2 a2 c2 4，于是椭圆的方程为 x2 y2 1 12 4
待定系数法
【总结1】求曲线的方程 【方法一】待定系数法（已知曲线类型）
第一步，引入待定的系数，设方程； 第二步，列出方程（组）并解之； 第三步，得曲线的方程。
【例2】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆
3、《圆锥曲线与方程》课程标准
课标要求（文）
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实 世界和解决实际问题中的作用。
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例 1），掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；
（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程， 知道它们的简单几何性质。
【例4】若双曲线 2x2 y2 k 的焦距是6，则 k
x2 y2
【解析】若 k 0，则双曲线的标准方程为 k k 1
所以 a2 k ,b2 k, c2 3k ，又 c 3
2
2
所以 3k 9 ，k 6
2
2
K<0时，标准方 程还是它吗？
若
k 0，则双曲线的标准方程为
y2 x2 k k
证明椭圆
【生成四】为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？
如何在圆锥曲面上 截出椭圆、双曲线 以及抛物线？如何 证明呢？
P 证明抛物线
【生成五】如果一个圆内切于一个椭圆，有时候只有一个 切点，有时候有两个切点。如果椭圆固定，圆的半径满足 什么条件时会分别出现上述情况？
设椭圆方程为 x2 a2