集合的基本关系及运算教案
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集合的基本关系及运算
【要点梳理】
要点一:集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A 是集合B 的部分元素构成的集合,我们说集合B 包含集合A ;
子集:如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合B 的子集(subset).记作:A B(B A)⊆⊇或,当集合A 不包含于集合B 时,记作A B ,用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:A B(B A)⊆⊇或
要点诠释: (1)“A 是B 的子集”的含义是:A 的任何一个元素都是B 的元素,即由任意的x A ∈,能推出x B ∈. (2)当A 不是B 的子集时,我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”,读作:“A 不包含于B ”(或“B 不包含A ”). 真子集:若集合A B ⊆,存在元素x ∈B 且x A ∉,则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作:A B(或
B
A)
规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系
A B B A ⊆⊆且,则A 与B 中的元素是一样的,因此A=B
要点诠释:
任何一个集合是它本身的子集,记作A A ⊆.
要点二:集合的运算
1.并集
一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作:A ∪B 读作:“A 并B ”,即:A ∪B={x|x ∈A ,或x ∈B}
Venn 图表示: 要点诠释:
(1)“x ∈A ,或x ∈B ”包含三种情况:“,x A x B ∈∉但”;“,x B x A ∈∉但”;“,x A x B ∈∈且”.
(2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 2.交集
一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集;记作:A ∩B ,读作:“A 交B ”,即A ∩B={x|x ∈A ,且x ∈B};交集的Venn 图表示:
要点诠释:
(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,而是A B =∅.
(2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”,同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”.
(3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.
补集:对于全集U 的一个子集A ,由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素
组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set),简称为集合A 的补集,记作:
U U A A={x|x U x A}∈∉;即且;
痧补集的Venn 图表示: 要点诠释:
(1)理解补集概念时,应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念,一个确定的集合A ,对于不同的集合U ,补集不同.
(2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z 为全集;而当问题扩展到实数集时,则R 为全集,这时Z 就不是全集.
(3)U A ð表示U 为全集时A 的补集,如果全集换成其他集合(如R )时,则记号中“U ”也必须换成相应的集合(即R A ð).
4.集合基本运算的一些结论:
A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂,,,,
A A
B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃,,,,
U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅,
痧 若A ∩B=A ,则A B ⊆,反之也成立 若A ∪B=B ,则A B ⊆,反之也成立
若x ∈(A ∩B),则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B),则x ∈A ,或x ∈B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法. 【典型例题】
类型一:集合间的关系
例1. 请判断①0{0} ;②{}R R ∈;③{}∅∈∅;④∅
{}∅;⑤{}0∅=;⑥{}0∈∅;⑦{}0∅∈;⑧
∅
{}0,正确的有哪些?
【答案】②③④⑧
【解析】①错误,因为0是集合{}0中的元素,应是{}00∈;②③中都是元素与集合的关系,正确;④⑧正确,
因为∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,而④中的{}∅为非空集合;⑤⑥⑦错误,∅是没有任何元素的集合.
举一反三:
【变式1】用适当的符号填空:
(1) {x||x|≤1} {x|x 2
≤1};
(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2
-1}; (3){x||x|>1} {x|x>1};
(4){(x ,y)|-2≤x ≤2} {(x ,y)|-1<x ≤2}. 【答案】 (1)= (2) (3) (4)
例2.(2015秋 确山县期中)已知A ={x |x 2―4=0},B ={x |ax ―6=0},且B 是A 的子集. (1)求a 的取值集合M ;
(2)写出集合M 的所有非空真子集. 【答案】(1)M ={0,3,-3};(2){0},{3},{-3},{0,3},{0,-3},{3,-3}
【解析】(1)A ={2,-2}.
∵B 是A 的子集,∴B =∅,{2},{-2}, ①B =∅时,方程ax -6=0无解,得a =0;
②B ={2}时,方程ax -6=0的解为x =2,得2a -6=0,所以a =3;
③B ={-2}时,方程ax -6=0的解为x =-2,得-2a -6=0,所以a =-3. 所以a 的取值集合M ={0,3,-3}.
(2)M ={0,3,-3}的非空真子集为{0},{3},{-3},{0,3},{0,-3},{3,-3} 举一反三:
【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ,则这样的集合A 有 个.
【答案】7个
【变式2】同时满足:①{}1,2,3,4,5M ⊆;②a M ∈,则6a M -∈的非空集合M 有( )
A. 16个
B. 15个
C. 7个
D. 6个 【答案】C 【解析】3a =时,63a -=;1a =时,65a -=;2a =时,64a -=;4a =时,62a -=;5a =时,61a -=;
∴非空集合M 可能是:{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5,{}1,2,3,4,5共7个.故选C.
【变式3】已知集合A={1,3,a}, B={a 2
},并且B 是A 的真子集,求实数a 的取值. 【答案】 a=-1, a=3±或a=0
【解析】∵, ∴a 2
∈A ,
则有:
(1)a 2
=1⇒a=±1,当a=1时与元素的互异性不符,∴a=-1; (2)a 2
=3⇒a=3±
(3)a 2
=a ⇒a=0, a=1,舍去a=1,则a=0
综上:a=-1, a=3±或a=0.
例3. 设M={x|x=a 2
+1,a ∈N +},N={x|x=b 2
-4b+5,b ∈N +},则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅
【答案】B
【解析】当a ∈N +时,元素x=a 2+1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b ∈N +时,元素x=b 2-4b+5=(b-2)2
+1,其中b-2可以是0,所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M 中元素都在N 中,但N 中至少有一个元素x=1不在M 中,即M N ,故选B.
例4.已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ,则+++2
()(x y x )()100100
2
y x y +++ = .
A .-200
B .200
C .-100
D .0 【答案】D
【解析】由M=N ,知M ,N 所含元素相同.由0∈{0,|x|,y}可知0∈
若x=0,则xy=0,即x 与xy 是相同元素,破坏了M 中元素互异性,所以x ≠0.
若x ·y=0,则x=0或y=0,其中x=0以上讨论不成立,所以y=0,即N 中元素0,y 是相同元素,破坏了N 中元素的互异性,故xy ≠0
0,则x=y ,M ,N 可写为
M={x ,x 2
,0},N={0,|x|,x}
由M=N 可知必有x 2=|x|,即|x|2
=|x| ∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0,以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1
当x=1时,M 中元素|x|与x 相同,破坏了M 中元素互异性,故 x ≠1 当x=-1时,M={-1,1,0},N={0,1,-1}符合题意,综上可知,x=y=-1
∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0
举一反三:
【变式1】设a ,b ∈R ,集合b
{1,a+b,a}={0,
,b}a
,则b-a=( ) 【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征:
b
1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a
∈∈≠∴+,又,
∴当b=1时,a=-1,b
{0,b}={0,-1,1}a
∴,
当b
=1a
时,∴b=a 且a+b=0,∴a=b=0(舍) ∴综上:a=-1,b=1,∴b-a=2. 类型二:集合的运算
例5.(1)(2014 湖北武汉期中)已知{}
22A y y x ==-;{}
22B y y x ==-+,则A ∩B =( ) A
.
(
)){}
00,,
, B
.⎡⎣
C .[-2,2] D
.{
(2)设集合M ={3,a },N ={x |x 2-2x <0,x ∈Z},M ∩N ={1},则M ∪N 为( ).
A . {1,2,a }
B . {1,2,3,a }
C . {1,2,3}
D . {1,3} 【答案】(1)C (2)D 【解析】(1)集合A 、B 均表示构成相关函数的因变量取值范围,故可知:A ={y |y ≥-2},B ={y |y ≤2},所以A ∩B ={y |-2≤y ≤2},选C .
(2)由N ={x |x 2-2x <0,x ∈Z}可得:N ={x |0<x <2,x ∈Z}={1},又由M ∩N ={1},可知1∈M ,即a =1,故选D . 举一反三:
【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2
+px+q=0与6x 2
+(2-p)x+5+q=0的解集,且A ∩B={
2
1
},求A ∪B. 【答案】{
2
1
, 31,-4}
【解析】∵A ∩B={2
1
},
∴2
1是方程2x 2
+px+q=0的解,则有: 0q p 21)21(22=++(1),同理有:6(21)2+(2-p)·2
1
+5+q=0(2)
联立方程(1)(2)得到:⎩⎨⎧-==.
4q ,7p
∴方程(1)为2x 2
+7x-4=0,
∴方程的解为:x 1=
2
1
, x 2=-4, ∴ }4,21{A -=,
由方程(2) 6x 2
-5x+1=0,解得:x 3=2
1, x 4=31,
∴B={21, 31},则A ∪B={2
1
, 31,-4}.
【变式2】设集合A={2,a 2
-2a ,6},B={2,2a 2
,3a-6},若A ∩B={2,3},求A ∪B.
【答案】 {2,3,6,18}
【解析】由A ∩B={2,3},知元素2,3是A ,B 两个集合中所有的公共元素,所以3∈{2,a 2
-2a ,6},则必有a 2-2a=3,解方程a 2
-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时,A={2,3,6},B={2,18,3}
∴A ∪B={2,3,6}∪{2,18,3}={2,3,6,18} 当a=-1时,A={2,3,6},B={2,2,-9}
这既不满足条件A ∩B={2,3},也不满足B 中元素具有互异性,故a=-1不合题意,应舍去. 综上A ∪B={2,3,6,18}.
例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8},若A ∩(C u B)={1,8},(C u A)∩B={2,6},(C u A)∩(C u B)={4,7},求集合A ,B. 【答案】A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}
【解析】全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}
由A ∩(C u B)={1,8}知,在A 中且不在B 中的元素有1,8;由(C u A)∩B={2,6},知不在A 中且在B 中的元素有2,6;由(C u A)∩(C u B)={4,7},知不在A 中且不在B 中的元素有4,7,则元素3,5必在A ∩B 中.
由集合的图示可得
A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}. 类型三:集合运算综合应用 例7.(2014 北京西城学探诊)已知集合A ={x |-4≤x <2}, B ={x |-1≤x <3},C ={x |x ≥a ,a ∈R}.
(1)若(A ∪B )∩C =∅,求实数a 的取值范围;
(2)若(A ∪B )ÜC ,求实数a 的取值范围.
【答案】(1)a ≥3 (2)a ≤-4 【解析】
(1)∵A ={x |-4≤x <2}, B ={x |-1≤x <3},又(A ∪B )∩C =∅,如图,a ≥3; (2)画数轴同理可得:a ≤-4.
举一反三:
【变式1】已知集合P={x ︱x 2≤1},M={a }.若P ∪M=P,则a 的取值范围是( ) A .(-∞, -1] B .[1, +∞) C .[-1,1] D .(-∞,-1] ∪[1,+∞) 【答案】C
【解析】P ={x ︱11x -≤≤}又 P M P =, ∴M P ⊆,∴ 11a -≤≤
例8. 设集合{
}{
}
2
22
|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. (1)若A B B =,求a 的值; (2)若A
B B =,求a 的值.
【答案】(1)1a =或1a ≤-;(2)1a =.
【解析】 首先化简集合A ,得{}4,0A =-. (1)由A
B B =,则有B A ⊆,可知集合B 为∅,或为{}0、{}4-,或为{}0,4-.
①若B =∅时,2
2
4(1)4(1)0a a ∆=+--<,解得1a <-. ②若0B ∈,代入得2
1011a a a -=⇒==-或.
当1a =时,{}
{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意; 当1a =-时,{}
{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈,代入得2870a a -+=,解得7a =或1a =. 当1a =时,已讨论,符合题意;
当7a =时,{}
{}2|1648012,4B x x x =++==--,不符合题意. 由①②③,得1a =或1a ≤-. (2)
,A B B A B =∴⊆.又{}4,0A =-,而B 至多只有两个根,因此应有A B =,由(1)知1a =.
举一反三:
【变式1】设A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0},其中x ∈R ,如果A ∩B =B ,求实数a 的取值范围. 【答案】a =1或a ≤-1
【解析】A ={x |x 2+4x =0}={0,-4}, ∵A ∩B =B 知,B A ⊆,
∴B ={0}或B ={-4}或B ={0,-4}或B =∅,
若B ={0}时,x 2
+2(a +1)x +a 2
-1=0有两个相等的根0,则2
002(1)
001a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩
,∴a =-1, 若B ={-4}时,x 2+2(a +1)x +a 2-1=0有两个相等的根-4,则2
4(4)2(1)4(4)1
a a -+-=-+⎧⎨
-⨯-=-⎩,∴a 无解,
若B ={0,-4}时,x 2
+2(a +1)x +a 2
-1=0有两个不相等的根0和-4,则2
402(1)
401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩
,∴a =1, 当B =∅时,x 2+2(a +1)x +a 2-1=0无实数根,Δ=[2(a +1)]2-4(a 2-1)=8a +8<0,得a <-1,
综上,a =1或a ≤-1.。