换元法在数学

换元法在数学中的应用

换元法在数学中的应用案例

教学重难点： 教学目标： 高考地位： 一.基础训练：

1.函数y ＝2x ＋

x +1的值域是________________。

2.已知2(1)54f x x x +=-+，则()f x =

3.若),(y x P 满足2522=+y x ，则y x +的最大值为

二．知识讲解

1.定义：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂问题得到简单化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。

2.运用范围：它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

3.换元的方法主要有：.整体换元、均值换元、三角换元、局部换元

（1）.整体换元

例1 分解因式：

.16)4a 3a )(2a 3a (22-++-+ 解：设

m 2a 3a 2

=-+，则 原式

)

4a 3a )(6a 3a ()2m )(8m (16m 6m 16)6m (m 222-+++=-+=-+=-+=).1a )(4a )(6a 3a (2-+++=

评注：此题还可以设m a 3a 2=+，或m 4a 3a 2

=++，或

m 1a 3a 2=++。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,

进而便于分解因式.

（2）.均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S

2－t 等等。结合三角形角的关系

与三角公式进行运算。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,

π

2

]。 例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+)

2.(97177)1(,1232y x y x

解：由①可设t x 662+=，t y 663-=，即t x 33+=，t y 22-=，代入②，得

.97)22(17)33(7=--+t t ∴2=t .∴,9233=⨯+=x .2222-=⨯-=y

∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.

2,9y x

说明：本题若按常规设法，可设t x +=62，t y -=63，此时

23t x +

=，32t

y -=﹒由于出现了

分数，给运算带来麻烦，因此设t x 662+=，t y 663-=，此时t x 33+=，t y 22-=，没有出现分类，使运算变得简捷.

换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。

注明：此方法略难，重点生可以研究普通生有兴趣的研究

（3）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,

π

2

]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有

去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。

例题：求函数y ＝3x ＋2－42－x 的值域．

解：由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2≥0，

2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．

因为(

x ＋2)2＋(

2－x )2＝4，

故可设⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，

(θ∈[0，π

2

])

则

y ＝3×2sin θ－4×2cos

θ＝6sin

θ－8cos

θ＝10sin

(θ－

φ)(340cos sin 255ϕϕϕ⎛π⎫⎛⎫

∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭其中，，＝，＝．

因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－φ，π2－φ.

所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－45＝－8；

当θ＝π2时，函数取得最大值10sin(π2－φ)＝10cos φ＝10×35＝6.

综上，函数的值域为[－8,6]．

例题：设点P(x,y)在椭圆4422=+y x 上，求y x +的最值

（4）局部换元 。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例题：已知函数f (x )＝4x －2x t ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图像恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )

A ．(2＋22，＋∞)

B ．(－∞，2＋22)

C ．(0,2＋22)

D ．(2＋22，8)

选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒

在x 轴的上方，即Δ＝t 2

－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧

Δ≥0，

t

2<1，

1－t ＋1＋t >0，

解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围

是(－∞，2＋22)． 巩固练习（基础版本）：

1已知,sin )cos 1(2

x x f =-求)(x f

2.已知)1(),(,1

)1(22++=+x f x f x

x x x f 求

3. 已知21)2,(),(1),()f x x x f x f x f x =++求

4.1h x x x =()的零点

5.方程4x +2x -2=0的解是

6.3log 4log 3x y x =+的值域

7.方程2

sin 2sin 0x x a --=x R ∈在上有零点，则a 的取值范围是

8.椭圆14

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是