感悟三次函数的中心对称性

③当ａ＜１时，１—２ａ＞一１，由／（ｚ）＞０，
解得ｚ＞ｌ一２口或ｚ＜一１． 综上： 当ａ＞１时，函数，（ｚ）的单调增区间为 （一∞，１—２ａ）和（一１，＋ｃｏ），单调减区间为（１—
２口，一１）；
所以，（∞）＋，（ｚ。）一２，（华）一２，（一袅）．
即函数厂（ｚ）＝船３＋如２＋口＋ｄ（ａ≠ｏ）若
有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点． 定理３
由点（ｚ。，ｙ。）的任意性，得函数厂（ｚ）＝∞３
厂（一蠡））．
证明
＋如２＋凹＋ｄ（口≠Ｏ）的对称中心是（一＿ｂ，
设函数，（ｚ）一凹３＋缸２＋口＋ｄ（口
≠Ｏ）的图象上任一点（ｚｏ，Ｙ。），
厂（一麦））．
定理２ 若函数，（ｚ）一ａｘ３＋如２＋“＋ｄ（口 ≠ｏ）有极值，则它的对称中心是两个极值点的 中点． 证明 由／一３ａｘ ２＋２ｂｘ＋ｃ—ｏ（△＝４（６２ —３ａｃ）＞Ｏ）的两根为ｚｌ，ｚ２，得
・３６・
中学数学月刊
２０１０年第８期
感悟三次函数的中心对称性
钱鹏（江苏省如东县马塘中学２２６４０１）
一兀三次函数／。（ｚ）＝ａ２１７ ３＋ｂｘ２＋“＋ｄ（ａ ≠ｏ）的最值、极值、单调性讨论较多，但对于三 次函数的图象的中心对称性则少有涉及．本文通 过研究三次函数的图象的中心对称性，揭开其面 纱，利用这个性质，很多问题可以简单求解．
Ｘｌ十ｚ２ ２一＝一’
６ａ
则Ｙｏ一甜３＋缸５＋凹。＋ｄ．
（Ｘｏ，ｙｏ）关于点（一五ｂ，厂（一麦））对称的点
为（一瓦２ｂ－－Ｘｏ
２，（一麦）一弘），而
２俨麦卜ｙ。一舻凳～）
一２［口（一袅）。＋６（一尝）ｚ＋ｆ（一妻）＋ｄ］一
Ｊａ Ｊ口 ６ａ
２ｂ
ｃ
ＺｌＺ２
２＝一．
Ｊ口
而厂（ｚ）的两极值点为Ａ（ｘｌ，厂（ｚ。）），Ｂ（ｘ。， ｆ（ｘ２）），则
：＝…—＋・一一一・＋－，，，
７ａ２’３ａ。９ａ２ ３ａ ３ａ’“”
５口
故／（ｚ）＝ｚ２＋２ａｘ＋２ａ一１一（ｚ＋１）（ｚ
＋２口一１）．
①当ａ＞１时，１—２口＜一１，由／（ｚ）＞０，
解得Ｘ＞一１或Ｘ＜１—２ａ；
②由ａ＝１时，１—２口一一ｌ，则厂（ｚ）一（ｚ
＋１）２≥０；
ａ（－－三）ａ＋２ｂ（－－尝）２＋２ｃ（一尝）斗２ｄ
缸３一妇５一凹。一ｄ－－ａ（～ｆ２ｂ—ｚ。）３—６（一孕一
ｚ。）２一ｃ（一＿２ｂ—ｚ。）一ｄ
ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＝∞｛＋ｋ｝＋“ｌ＋ｄ＋ａ．Ｔｃｉ
＋如；＋ｏ ２＋ｄ ＝ａ（ｘｌ＋ｚ２）［（ｚ１＋ｚ２）２—３ｘｌｚ２］＋６［（ｚｌ ＋ｚ２）２—２ｘｌｚ２］＋ｃ（ｘｌ＋ｚ２）＋２ｄ
－●———卜斗・＋－■—・■—－—■——＋——■—－—卜——卜——●”－＋－・——－—卜——＋——＋—－●—－—－・—卜—－●———卜——卜－—＋—－●—－—卜——■——＋—－●－－——・■－—■—－■—－■－・————卜—－＋—－■—・—●——●—・■－－—●——＋—－■—－■—－—卜－－●一
所以生＝口２，坠一ｎ３，故国一口２口３，即Ａ一
口３ 口￡
ａ１＋ａ２＋…＋ａ。 口了１＋…＋口ｉ１＋口ｉ．１
１一ａ２ 口ｉ１（１一ａ；）
＝ａ。，即证．
｛１，口２，ａ３，ａ２ａ３）．
１一ａ２
万方数据
２０１０年第８期
中学数学月刊
１）ｚ，
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Ｚｆ（半）＝２厂（－圭）
＝２
６ａ ５口
＝口ｃ一差，ｃ筹一詈，＋６ｃ筹二篓，一尝＋弘 一 黑－＂１Ｉ＂－丝＋竺一丝一丝＋２ｄ 一丽４ｂ３一尝＋２ｄ，
（Ｉ）依题意，得／（ｚ）一ｚ２＋２∞＋ｂ．
故／（一１）一１—２口十ｂ＝０，得ｂ＝２ａ一１． （Ⅱ）由（Ｉ）得厂（ｚ）＝÷ｚ３＋ａＴ．２＋（２ａ—
万方数据
＝筹一百２ｂｃ＋２ｄ．
当ａ＝１时，函数，（ｚ）的单调增区间为Ｒ； 当ａ＜１时，函数，（ｚ）的单调增区间为 （一∞，一１）和（１—２口，＋ｃｏ），单调减区间为
（一１，１—２ａ）．
函数，（ｚ）＝凹３＋如２＋凹＋ｄ（ａ
≠ｏ）的对称中心，在其导函数／＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋
ｃ的对称轴上． 证明略．
２
（Ⅲ）当口一一１时，ｂ一一３，得，（ｚ）一÷ｚ３
口３ 口２
＝一一十一一ｎｒ：一ｎｔ：一，．ｆ．十
：一兰堡＋磐一丝一叮３一如３ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组：＋２７
ａ２。９ａ２
３ａ
～ｏ
～ｏ
。４
ｏ。
则口。口。；口。ｎ。＞口．，所以堕∈Ａ，堕
口３ 口２
∈Ａ且
以
——－－－－－—－－－－——－—・－－－－——・—－－－－－－—－－－－－－—－－－—・－一：＝
ａ１＋ａ２＋…＋ａ。
口－１＋口ｉ１＋…＋口：１ １・（１一ａｎ。）
共点，即对称中心（１，一婴）．
评注 （Ⅲ）问用对称中心的性质解题就非 常简洁．掌握了三次函数的中心对称的性质，有助 于我们提高对知识系统性的理解水平． 新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都 有较大变化，要实现数学课程改革的目标，教师是 关键．教师在教学中应转变观念，充分认识数学课 程改革的理念和目标，帮助学生养成良好的习惯， 形成积极探索的态度，强化勤奋好学、勇于克服困 难和不断进取的学风，为学生未来发展和进一步 学习打下坚实基础．
＝÷ｚ３＋船２＋如，且／（一１）一０，
（Ｉ）试用含ａ的代数式表示ｂ； （Ⅱ）求，（ｚ）的单调区间；． （Ⅲ）令ａ一一１，设函数，（ｚ）在ｚｌ，ｚ２（ｚ１＜ ｚ２）处取得极值，记点Ｍ（ｘ。，ｆ（ｘ。）），Ｎ（ｘ。， ｆ（ｘ。）），证明：线段ＭＮ与曲线，（ｚ）存在异于 Ｍ，Ｎ的公共点； 分析 解 （Ｉ）（Ⅱ）两问比较简单，（Ⅲ）问要 用对称中心的性质解决．
一ｚ２—３ｘ．
应用 例１ （２００９年高考湖南卷）已知函数厂（ｚ）
＝ｚ３＋ｂａｃ ２＋ＣＸ的导函数的图象关于直线ｚ一２
由厂（ｚ）一ｚ２—２ｚ一３—０，得Ｘｌ＝一１，ｚ２
＝３．
对称，求ｂ的值． 分析 解 ，（ｚ）的导函数是二次函数，可用二 次函数的对称轴的性质或定理３． 由于厂（ｚ）＝ｚ３＋妇２＋凹的对称中心
当以≥５时，Ａ＝｛１，ａ，口２，ａ３，…，口州｝（口＞ １）（上面已证）． 当咒＝２，３时，易证．下仅对挖＝４时作简单 证明： 设Ａ＝｛１，ａ２，ａ３，ａ‘）（１＜ａ２＜ａ３＜ａ４）， 此外，我们也可以运用推广后的一般结论，再 去证明本题的第（２）问． 咒＝２或ｎ＝４时，易证． 咒＝３或恕≥５时，由上知ａ１，ａ２，…，ａ。成等 比数列，故口：１’．．・，口ｉ１，口＿１也成等比数列，且公比 均为ａ２． 所 １＜ａ＿Ｌ＜丝＜ｎ４，
１
筹＋等。＋２缸：＋纰３一等一篑ｚ。－－ｂｘ３＋
姿＋旺。一０，
０ａ
所以２，（一麦）一执一，（一五２ｂ—ｚ。），
即点（一磊２ｂｍＸ０
三次函数的中心对称性 定理１ 函数，（ｚ）＝ａ．，１７３＋ｂｘ２＋ｃｚ＋ｄ（ａ
２厂（一麦）一弘）在，（ｚ）＝
≠ｏ）是中心对称图形，其对称中心是（一箬，
盯３＋缸２＋衄＋ｄ（ａ≠０）的图象上．
故Ｍ（－－１，芸），Ｎ（３，一９），则ＭＮ中点为（１，
一争
所以，（ｚ）＝÷ｚ３一ｚ２—３ｘ的对称中心为
在其导函数的对称轴ｚ２
ｂ＝一６．
２上，则一Ｆ毛２ ２，故
评注
根据题目分析，用数形结合的数学
（１，一婴）．
所以线段ＭＮ与曲线厂（ｚ）有异于Ｍ，Ｎ的公
思想得出解题方法． 例２（２００９年高考福建卷）已知函数，（ｚ）