2012湖南大学数学竞赛(数学专业组)试题及解答

湖南大学2012年数学竞赛试卷（数学专业类）及参考答案

2-1-1-1-1-1-1111.1|+|>0 (2)-(1)==+>0+()>0+()>0()+00={,,-0-0T T T T T s T

s A B A B A B A I A P A P P A B P I P BP P I P BP P BP I B b b B T T BT D diag b b ⇔⇔⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

设实对称，实反对称，证明：（）正定

证：只要对的情形证明即可。事实上，由于正定，则存在可逆使得。。显然反对称。对于。

由于反对称，则存在正交阵使得12

=1120,...,0}11+=++{,,1,...,1}(1+)>0-1-1(2)--+s

s T i i s T T T b b I B T I D T I D diag b b b B B B A B A B B A B B ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

==∏则。由于反对称，则。则。其中是正定的，是半正定的。则它们的和是正定的。

032012012s+1s+111222.=ker (1)dim =dim +dim (2)dim +dim 2dim ,,...,,,...,,,,...,,,...,dim =++...+s s t t W n V W W W W W V V V W W W W k k k σσσσσσεεεεεεεεσεσεσααεε⋂≥∀∈设是维线性空间的子空间。为其上的线性变换。令。求证：证明：

设为一组基。则他们可以扩充为的一组基下面我们来证明为的一组基。对，有()()+1s+11122+1s+1+1s+1s+1+1s+1+1s+1+1s+1012++...+=++...+++...+=+...+,,...,+...+=+...+=0+...+ker ,s s s t t

s s s t t s t t t s t t s t t s t t k k k k k k k k k l l l l l l W W εεεσασεεεεεσεσεσασεσεσεσεσεεεεσεε∈∈∈则则可由表出。

再证它们线性无关。设有线性组合则且。故。则它能被1122+1s+112s+1+1s+1s+10

12,...,++...+=+...+,,...,,,,...,=...==0.,,...,,,...,dim dim ==-+=dim +dim 2,,...,,s s s s t t s t s t t t n l l l l l W l l W W t t s t W W V εεεεεεεεεεεσεσεσεσεσσεεε表出。有。由于为的基。所以只能有所以线性无关。综上为的一组基。则（）取的一组基。则在此基下32323232,,,,()()+()-()()+()2()dim +dim 2dim 000000()=0A A A Frobenius r AAA r AA r AA r A r A r A r A V V V Frobenius AB ABC ABC B BC B BC B AB AB r AB r BC r r BC B BC σσσσσσ≥≥≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎛⎫⎡⎤⎡+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭对应的矩阵分别为由不等式有。即等价的有注：不等式

因为则（）00()()+()-()

ABC r B r ABC r AB r BC r B ⎛⎫⎛-⎫

⎤⎡⎤= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭≥即

1212122222

11221212+=1-=1

3.:,:,0

=0y=01111(1)(2)2=++:(1)=(0,,-)(0,,0)

=(,0,)(0,0,-c)=(0,-,-),,y z x z l l abc b c a c x l l l l d d a b c l u b c P b l v a c P PP b c u v PP ⎧⎧⎪⎪≠⎨⎨⎪⎪⎩⎩==已知直线其中求证：，异面设，的距离为，求证证明方向向量过点方向向量过点并且知道考察混合积()

()(1212

2222

0-=0=20.0--(2)=0=(,,-)0--,,1111

2==

=++b c

a

c abc l l b c

i j k

u v n a c bc ac ab b c u v PP

d n

d a b

c

≠所以，异面考察，的公垂向量。

则

{}{}{}{}121

124.,,...,...inf .

>>inf =inf ,,...,inf n n p n n N p x E x x x p x E x N n N x x E x x x p x E

===设为一正无穷大数列。，试证存在正整数使得，证明：由于为正无穷大数列，则存在使得若，则则。而右边是一个有限集，必可取的使得

22

2

2

2

2

--+2

+++---0

+-0

-5.>>0,===x x

tx tx t tx e e I dx x I dt e dx e dt e dt I dx e dt αββαα

β

α

βα∞

∞

∞

∞

∞

≤⎰⎰

⎰⎰

⎰

⎰⎰

设求解：则。由于右侧收敛则交换积分号有

[0,1]

[0,1]

00006.()>0,[0,1]lim max ()max ()()=>0,>0,-<,()-1,<-

x x f x M j

Archimedes n j x n n εδδε

δδ

∈∈=≤∀∃≥设且在上连续。求证。

证明：设又是连续的，故存在使得并且对使得若则由原理，对充分大的有。这时必有一个

使得[0,1]()--=max ()n x j

f M M n M f x εεε∈≥≥所以这时由任意性知。

111=1

=1

1=1=1

012-7.()[,](0)=0,(1)=1,...,,...,[,]=()==<<1.=1.(0)=0,(1)=1()[,]

-1[0,1]=0<<<...

n

i

n i

i i i n

n

i

i i i i i i n f x C f f k k k x x k f x k k M p p p f f f x C M f n c c c c ∈∈'∈∑

∑∑∑设01，，为正数。求证存在互不相同的01，使得证明：记。。则0考虑到，01则由的介值性可以确定个的分点()1-1-1-1-1-1-1=1=1=1=1<1=.()-()=[,]=()-()=()(-)

=-=-=1.=()()()n i i i

i i i i i i i i i n n n n

i i i

i i i i i

i i i i i i i

c f c f c p lagrange x c c p f c f c f x c c p p k c c c c k f x f x f x '∈'''∑∑∑∑同时满足由定理知道。存在。使得即。则整理既得