椭圆抛物面画法

4.椭圆抛物面的图形
5.椭圆抛物面的参数方程
⎧x = au cos v
⎪ ⎨
y
=
bu
sin
v
（
u,
v
为参数）
⎪⎩
z
=
1 2
u2
二.双曲抛物面 1.双曲抛物面的定义
在直角坐标系下，由方程 x2 − y 2 = 2z (a > 0, b > 0)
(*)
a2 b2
所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程(*)叫做双曲面抛物的标准方程.
h2 2b 2
) --------抛物线
⎪⎩
y=h
抛物线 Γhy 开口为 z 轴的正向,对称轴平行于 z
轴,顶点 (0,
h,
−
h2 ) 在主抛物线 2b 2
Γ0x 上.所
以 Γhy 可以看成是与主抛物线 Γ0y 完全全等的抛物线.
结论:双曲抛物面可以看成是动抛物线 Γhy 的轨迹,动抛物线 Γhy 变动时满足下列条 件:
2.双曲抛物面的性质
设 F(x,
y, z)
=
x2 a2
−
y2 b2
− 2z
=
0
(1)对称性：因为 F (±x, ± y, z) = 0 ,所以曲面(*)关于 xoz 面, yoz 面和 z 轴对称.（无
对称中心） (2)截距 顶点 轴 因为(*)与坐标轴的交点为 O(0,0,0),所以(*)的顶点为 O(0,0,0).
2
= −2b2 z x=0
--------主抛物线
平截线：曲面与平行于 xoy 面的平面的交线为
Γhz
⎪⎧ x 2 ⎨ 2a 2 h
−
y2 2b 2 h
=1
⎪⎩ z = h
①当 h > 0 时, Γhz 为双曲线,实轴平行于 x 轴,虚轴平行于 y 轴,顶点 (±a 2h, 0, h) 在主抛物线 Γ0y 上.
②两对顶点分别在主抛物线 Γ0y , Γ0x 上滑动.
纵截线:曲面与平行于 xoz 面的平面的交线为
Γhy
⎪⎧ ⎨
x
2
=
2a2 (z
−
h2 2b 2
) --------抛物线
⎪⎩
y=h
抛物线 Γhy 开口为 z 轴的正向,对称轴平行于 z 轴,顶点 (0, h,
h2 2b 2
)
在主抛物线
Γ0x 上.
(1)对称性：因为 F (±x, ± y, z) = 0 ,所以曲面(*)关于 xoz 面, yoz 面和 z 轴对称.（无
对称中心） (2)截距 顶点 轴 因为(*)与坐标轴的交点为 O(0,0,0),所以(*)顶点为 O(0,0,0).
(3)范围: x ∈ (−∞, + ∞) y ∈ (−∞, + ∞) z ≥ 0
+
y2 2b 2h
=1
⎪⎩ z = h
当 h > 0 时,为实椭圆 当 h = 0 时,为点椭圆 当 h < 0 时,为虚椭圆
所
以
,
当
h
>0
时
椭
圆
Γhz
⎪⎧ ⎨
x 2a
2 2
h
+
y2 2b 2h
=1
的
两
对
顶
点
分
别
为
(± a
2h, 0, h)
⎪⎩ z = h
( 0, ± b 2h, h) ,它们分别在两主抛物线 Γ0y , Γ0x 上. 结论:椭圆抛物面可以看成是动椭圆 Γhz , 的轨迹,动椭圆 Γhz 变动时满足下列条件: ①所在平面平行于 xoy 面,
①所在平面平行于 xoz 面,
②始终和主抛物线 Γ0y 全等，
③顶点在主抛物线 Γ0x 上滑动.
同样可取横截线 Γhx 讨论之. 可以看出,双曲抛物面还可以看成是两个所在平面互相垂直抛物线,它们的顶点和 轴都重合,开口方向相反,让其中一条抛物线平行于自己(即与抛物线所在平面平行),且 使其顶点在另一条抛物线上滑动.
3.椭圆抛物面的形状
主截线：
Γ0z
⎪⎧ ⎨
x a
2 2
+
y2 b2
= 0 -------点
⎪⎩ z = 0
Γ0y
⎩⎨⎧
x
2
= 2a y=0
2
z
--------主抛物线
Γ0x
⎨⎧ ⎩
y
2
= 2b x=0
2
z
--------主抛物线
平截线：曲面与平行于 xoy 面的平面的交线为
Γhz
⎪⎧ x 2 ⎨ 2a 2 h
②当 h = 0 时, Γhz 点 ③ 当 h < 0 时 , Γhz 为 双 曲 线 , 实 轴 平 行 于 y 轴 , 虚 轴 平 行 于 x 轴 , 顶 点
(0, ± b − 2h, h) 在主抛物线 Γ0x 上.
纵截线:曲面与平行于 xoz 面的平面的交线为
Γhy
⎪⎧ ⎨
x
2
=
2a2 (z
+
§4.6 抛物面
一.椭圆抛物面 1.椭圆抛物面的定义
在直角坐标系下，由方程 x2 + y 2 = 2z (a > 0, b > 0)
(*)
a2 b2
所表示的曲面叫做椭圆抛物面，方程(*)叫做椭圆面抛物的标准方程.
2.椭圆抛物面的性质 设 F (x, y, z) = x2 + y 2 − 2z = 0 a2 b2
所以 Γhy 可以看成是与主抛物线 Γ0y 完全全等的抛物线.
结论:椭圆抛物面可以看成是动抛物线 Γhy 的轨迹,动抛物线 Γhy 变动时满足下列条 件:
①所在平面平行于 xoz 面,
Hale Waihona Puke Baidu②始终和主抛物线 Γ0y 全等，
③顶点在主抛物线 Γ0x 上滑动.
同样可取横截线 Γhx 讨论之. 可以看出,椭圆抛物面还可以看成是两个所在平面互相垂直抛物线,它们的顶点和 轴都重合,而且有相同的开口方向,让其中一条抛物线平行于自己(即与抛物线所在平面 平行),且使其顶点在另一条抛物线上滑动.
(3)范围: x ∈ (−∞, +∞) y ∈ (−∞, +∞) z ∈ (−∞, +∞) .
3.双曲抛物面的形状
主截线：
Γ0z
⎪⎧ ⎨
x a
2 2
− y2 b2
= 0 -------两条相交于原点的直线
⎪⎩ z = 0
Γ0y
⎩⎨⎧x
2
= 2a y=0
2
z
--------主抛物线
Γ0x
⎧ ⎨ ⎩
y
4.双曲抛物面的图形
5.双曲抛物面的参数方程
⎧x = a(u + v)
⎪ ⎨
y
=
b(u
−
v)
（u，v
为参数）
⎪⎩ z = 2uv