第四章 恒定磁场

Bx B0
z
Bz
F
nˆ
①以回路中心为坐标系原点，回路
法线方向与 z 轴正方向一致，建立
x
y
直角坐标系。
F
②由安培磁力定律，可得
F
l
Idl B0
I l
dl
B0
0
这表明均匀磁场中的闭合电流回路所受的总磁力为零。但 此力为零只说明回路不受使其产生位移的力，由于回路各部分 所受磁力的方向不同，它将受到转矩作用而发生旋转。
图4－18 载流直导线的磁场
所以
R r csc
Rˆ rˆ sin zˆ cos
dl Rˆ r csc2 d zˆ rˆ sin zˆ cos ˆr csc d
④应用毕奥——沙伐定律
B
0I 4
l
dl
R3
R
0I 4
2 ˆ 1
r csc d
r csc 2
其中
ˆ
0I 4 r
0 4
I1dl1 R21
l1
R231
只与回路 l1 有关
而电流回路所受磁力可以归结为回路中运动电荷受力的结果
Idl Jdsdl vdsdl dQv
dF dQv B
与运动电荷的洛仑兹力公式相比，可将dl2处的磁感应强度记作
B 0
4
Idl R l R3
2、电流元的 B
回路 B 的表达式中的被积函数应为电流元 Idl 在场点处产生
2、回路上电流元受力
dF Idl B
dF | Idl B | Idl sin B
dF
B
Idl
图4－17 电流元受到的磁场力
B 可以定义为磁场中一点上单位电流元所受到的最大磁力。
四、真空中的磁场强度 H
定义： H B
0
单位：安培/米（A / m）
例4.2 求通过电流 I 的一段直导线在空间任意点产生的磁感应强度
dl
(a)
(b)
③立体角的增量
l 所包围的面积对P点构成一个立体角Ω
l 回路不动，P 移动 dl dΩ
P不动， l回路移动 dl √
环带上
ds
dl
dl
ds对P的立体角
R
ds
R3
R
(dl
R3
dl )
环带对P所张立体角
dW
l
R R3
(dl
dl)
④用dΩ表示 H的闭合围线积分
l H dl
③洛仑兹力方程
F q(E v B)
B 的单位： 在SI单位制中，为特斯拉（T） 高斯单位制中，为高斯（Gs )
1 特斯拉 ＝1 (牛顿·秒)/(库仑·米) 1 T＝104 Gs
5、磁感应线 ①磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度 B 的方向；
②通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数正比于该点 B值的大小。
qB
★应用
B
A
A
q
F
B
图4－11 磁聚焦
图4－12 磁镜
图4－13 磁瓶
三. 回旋加速器
回旋加速器的优点在于以不很高的振 荡电压对粒子不断加速而使其获极高 的动能。
设D形盒的半径为R0，则离子所能 达到的最大速率和动能是
vmax
qR0 B m
Wk
1 2
mvm2ax
1 q 2 R02 B2 2m
R mv qB
回转周期
T 1 2 m
f Bq
q m 称为荷质比
二. 沿磁场方向的螺旋运动
v
v
v
v
B
q
v
B
q
v
图4－9 速度的分解
图4－10 粒子的运动轨迹
当带电粒子进入均匀磁场的初速度与磁场不垂直时，粒子沿螺线运动。
螺旋线的半径 螺旋线的螺距
R m v m v sin
qB qB h v T 2 m v cos
回路所受的总转矩为
Ty
0 dTy
0
2 I r02B0 sin sin2 a da
I
r02
B0 sin ISB0 sin
③用磁矩表示转矩
定义电流回路的磁矩
m
zˆIS
，则
T m B0
§4.4 恒定磁场的基本定律
一、安培回路定律
1、积分形式 （1）磁场强度 H 的闭合围线积分（单个回路）
H dl
l
I
当回路的积分方向与穿过其截面的电流I 符合右手定则时， 取正值；反之，取负值。
b. 积分回路与电流回路不交链
I
此时P点沿l位移则立体角一直连续改
l
变，当P点位移一周回到原来位置时，
立体角也回复到原值，所以
Ω 0
l H dl 0
WP l
(b)
应当明确，所谓电流 I 与回路 l 交链，是指该电流必须穿过 以 l 为边界的任意曲面。
dB
dB
解：①建立坐标系。令回路轴线与z轴重
P
合，取圆心为坐标系原点。
dB
Idl
R
②由毕奥――沙伐定律求解 对于z轴上的任意场点，Idl与 R 相互垂直
a
o
y
Idl
故
dB 0Idl
4R 2
将dB沿z 轴分解，可得
dB
dBsin
0 4
Ia R3
dl
x
I
图4－19 圆形电流回路的磁场
dB dB cos
F qv B
或 F qvBsin
讨论：
① B 的模值与方向
I
模值：单位运动电荷在该点所受到的最大磁力
B Fmax qv1 方向：B 、v 和 Fmax 是相互垂直的
Fmax
q
B
P v
Bˆ Fˆmax vˆ
②洛仑兹力 Fv 0
图4－6 B 的方向定义
洛仑兹力对电荷的运动不做功，它只改变电荷的运动方向， 而不改变其运动速度的大小。
的磁感应强度矢量元
dB
0
Idl R
4 R3
3、分布电流的 B
①电流体分布 Idl Jd
B
0 4
JR3Rd
dB
0
J R d
4 R3
②电流面分布 Idl Jsds
B
0
J s Rds
4 s R3
dB
0
J s R ds
4 R3
三、电流回路在磁场中受力
1、回路受力
F l Idl B
图4－14 回旋加速器
若换成一次加速形式的直线加速器来实现同样的动能，则
U AB
1 2
(
q m
)R02
B
2
R0 0.48 m B 1.8 T
一千八百万伏
四. 霍耳效应
y
B
将一块导电材料板放在 垂直于它的磁场中，当板 内有电流 I 通过时，在导
C E
z
F
A
电板的两个侧面A、C 间
会产生一个电位差UAC，
0 4 107 (H / m) 是表征真空磁性质的常数，称为真空磁导率
2、安培磁力定律符合牛顿第三定律 F21 F12
二、毕奥----沙伐定律
1、电流回路的 B
将安培磁力定律改写为
F21
l2
I 2 dl2
0 4
I1dl1 R21
l1
R231
写成微分形式
dF21
I2dl2
I
4
l
dW
I W
4
ΔΩ 表示P点沿 l 运动一周所引起的立体角的总改变量。
⑤讨论ΔΩ
a. 积分回路与电流回路相交链
I
l
按右手关系选择回路所围曲面的法向 nˆ
M nˆ
B
积分回路选择A→B，对应曲面两侧
A与法线同侧 ΩA= - 2π
P56,例2.4
A WP
B与法线异侧 ΩB= 2π
l (a)
所以 Ω ΩB ΩA 4
4、磁感应强度 B
模值：表示某点上的磁场强弱
方向：该点的磁场方向
B 用运动电荷在磁场中受力来定义。
亥姆霍兹线圈实验的结论：
① Fˆ vˆ xˆ
② F sin ③ F qv
图4－5 亥姆霍兹线圈
综合上述三点，运动电荷在磁场中所受的磁力表示为
F
k (qv
xˆ)
将 kxˆ 定义为磁感应强度 B，则
（2）求磁场力的转矩
①考虑磁感应强度的两个分量
I
Bz B0 cos 使回路受到向圆环外的张力
Bx B0 sin 使回路绕y轴作反时针旋转
②求Bx的转矩
电流元 Idl 和 Idl 共同产生的转矩为
Bx
x
r0 a a r0
dl
dl
dF
dF
r0 sina y
外磁场中电流回路的转矩
dTy r0 sina dF r0 sina dF 2I r02B0 sin sin2 a da
I I
N
S
(a)
(b)
(c)
§4.2 带电粒子在磁场中的运动 ´ ´ ´ ´ ´
一. 垂直磁场的圆周运动
洛仑兹力
F qv B
若 v B 则 F qvB
´
´
´
´ ´
B
´
´
o R´
´
Fm
´
´
´ ´
q,m
v
´
´
´
´
´
利用牛顿第二定律和匀速圆周运动的加速度公式，有
F ma m v2 R
所以，回转半径
2 sin 1
d
ˆ
0I 4 r
cos1
cos2
cos1
z
l 2
r2
z
l 2
2
cos 2
z
l 2
r2
z
l 2
2
可见，直线电流段产生的磁场与电流成右手螺旋关系。
★对于无限长的直线电流情况
l 时 1 0
所以
B
ˆ
0I
2 r
2
例4.3 一圆形载流回路的半径为a，电流
z
强度为I，求回路轴线上的磁感应强度。
① 假定空间磁场由电流回路产生
根据毕奥——沙伐定律，得
H
I百度文库
4
l
dl
R3
R
②任取一个闭合回路，则 H 在此回路上的积分为
l
H dl
l
I
4
l
dl
R3
R
dl
I
4
l
R
l
R3
dl
dl
1
dS
R2
W dW W P
dl R
dl
l
l l
P
W dW
dl
W
ds
第四章 恒定磁场
§4.1 磁力和磁感应强度
1、磁现象的电本质 现象：磁铁、磁性、南极、北极……
本质：分子电流假说
I
S
N
S SN
S
S
N
I
NS
N
S
I
N
S N
N
N
S
I1
I2
图4－1 奥斯特实验
图4－2 载流线圈与磁棒等效 图4－3. 载流线圈的作用 力
任何物质的分子都存在着圆形电流，称为分子电流。
nˆ
2、微分形式
利用斯托克斯定理
恒定磁场第一定律
H
l
dl
s
H
ds
s
J
ds
得安培回路定律的微分形式
H J
物理意义：反映了磁场空间一点上的磁场强度矢量与该点电流 密度的关系，表明了电流是磁场的“漩涡源”。磁场是一个有 旋场和非保守场。
例4.5 半径为 a 的无限长导体圆柱上流有恒定电流I ，
x
这种现象称为霍耳效应 。
d
I
o
a
图4－15 霍耳效应
当电场力和洛仑兹力达到平衡时
若载流子是正电荷，则 若载流子是负电荷，则
VH
U AC
IB N qd
VH
U AC
IB N qd
应用：①确定半导体载流子形式； ②磁场测量（高斯计）
电荷有规则的宏观运动
电流 不随时间变化
恒定电流
磁场
恒定磁场 静磁场
每个分子电流都相当于一个基本磁元体。
IN e
v
各基本磁元体的磁效应相叠加
永磁体
S
基本磁元体受磁场力作用而转向 2、磁场
磁化
图4－4 分子电流
运动的电荷在其周围空间激励出了磁场这种特殊的物质。
磁作用力都是通过磁场来传递的。
3、磁单极子 ①理论上预言存在，但是没有在实验中发现 ②即使存在也是极少的，不会影响现有的一般工程应用。
求空间任意点的磁场强度。 解：①建立坐标系
y
H
令圆柱体的轴线与圆柱坐标系z 轴重合，建立圆柱坐标系。
②求出电流分布 J
ra
J
I
a2
zˆ
r
o
x
a
ra J 0
③利用安培环路定律求解 H
r
a
I
I J
S
H dl H 2 r
l
dS
I
a2
r2
Ir 2 a2
H
Ir
2 a2
或
H
ˆ
Ir
2 a2
ra
I
l
H
dl
H
2
r
I J dS I S
H
I
2 r
或 H ˆ I 2 r
从结果可以看出，在 r > a 的 位置感受到的磁场强度与所有的 电流集中在轴线上的无限长线电 流所产生的磁场强度是相同的。
H
oa
r
长圆柱导线电流的磁场
例4.6 如图的环状螺线管叫做螺绕环。
设环管的轴线半径为R，环上均匀密绕N
l
匝线圈，线圈内通有恒定电流I。 求：螺绕环内外的磁场。 解：①建立圆柱坐标系求解
I
I
l
l
l
I
( a) 不交链
(b) 一次交链
(c) 多次交链
（2）多个电流回路存在时，H 的围线积分
N N
l H dl l H i dl Ii
i 1
i 1
对于一个电流N 次与 l 交链的情况
l H dl N I
（3）电流体分布时，H 的围线积分
安培回路定律的积分形式
l H dl s J ds
解：①建立坐标系 以导线为 z 轴，导线中点为原点。
由对称性知，场值与 无关，可 在 0 的平面内求解。
②求电流元表达式
Idl zˆIdz
l /2 dz
z 2
r
R
z
P(r,0, z)
r
z z rctan dz r csc2 d
l /2
1
所以 Idl zˆIr csc2 d
③求被积函数中的矢量项
§4.3 安培磁力定律和毕奥---沙伐定律
一、安培磁力定律
1、表达式
F21
0 4
l2
I2dl2 I1dl1 R21
l1
R231
I1dl1 I2dl2 表示 l1 l2上的电流元
R21表示 I1dl1到 I 2dl2 的相对位置矢量
l1
I1
R21
dl1
r2
r1
I2
dl2
l2
o
图4－16 两个载流回路的作用力
分析对称性可知整个电流回路的磁场只有平行方向分量，即
B zˆ
0aI dl zˆ 0aI 2a zˆ
0 Ia 2
l 4R 3
4R 3
2(a 2 z 2 )3 2
五、电流回路在磁场中受到的转矩
例 流4回.4路分在析均半匀径外为磁场r0 的B圆0 形 xˆ细Bx导 线zˆB载z 中所受的磁场力。 解：（1）求总磁场力