等比数列的概念及通项公式(一)

an＝amqn-m + （am≠0,an ≠ 0,m,n∈Z）
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是： an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿ an
8
·
上式还可以写成 1 n an 2 2 可见源自这个等比数列 的图象都在函数7
6
5 4
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列. 这个常数叫做等比 数列的公比，用 q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
2
3
4
1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0). 数学语言：
an a n 1 或 a n 1 an q q (n 2且 n N
*
).
a n 1 a n q
名 称
等差数列
等比数列
(2)证明：当 n≥2 时， 1 1 由 an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)， 3 3 an 1 a2 1 得 ＝－ ，又 ＝－ ， 2 a1 2 an － 1 1 1 所以{an}是首项为－ ，公比为－ 的等 2 2 比数列．
你有什么收获？
小结：填写下表
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d
变式 :
a n 1
已 知 数 列 { a n }的 前 n 项 和 为 S n 3 1 , 求 证 ：
n
数 列 { a n }是 等 比 数 列 .
分 析 ： 当 n 1时 ， a 1 S 1 3 1 2 ；
1
当 n 2 时 ， a n S n S n 1 3 1 (3
0
1
2
例 2： 9 是 等 比 数 列 3 2 ， 2 ， 2 ， 的 第 几 项 ? 3 3 ...
0 1 n 1 n 1
解：a 1
3 2 1， q 3 2 ， a n a 1 q
n 1 2 2
3
2
.
9 3 3
，即2
n 1 2
， n 5，
即 9 为 该 数 列 的 第 5项 .
(2)由(1)知，
{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列．
所以an＋1＝2·n－1＝2n， 2
即an＝2n－1. 【名师点评】 已知数列的递推关系求通项公式 时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列， 若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通 项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将 递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而 求出通项公式．
变式训练 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 1 Sn＝ (an－1)(n∈N*)． 3 (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
,
1
,鬃
8 16
2 3 4
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 20 , 20 , 20 ,鬃
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点. 2，23，… ( 2 ) 1 , 1 , 1 , 1 , （1）1，2，2 …… 2 4 8 16
(3)
1, 20, 20 , 20 , 20 ,鬃
y 2
1 2
x
·
3
2 1
0
的图象上，如右图所示。
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
·
·
1 2 3 4 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an }通项公式可整理为：an = a1 q
x
a1 q
q，
n
它的图象是函数y =
q 的图象上的孤立点.
变式： 3
m 1
是该数列中的项吗？若是，是第几项 ?
n 1 m 1
分 析 ： 令 3
3
2
， 则 n=2m +3
例 3： 已 知 { a n }的 通 项 公 式 a n 3 , 求 证 ：a n }是 {
n
等比数列.
an
定义法，只要看
q (q是 一 个 与 n无 关 的 非 零 常 数 ）
2、等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d (n∈N*) an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课： 1.细胞分裂个数组成数列:
1, 2, 4, 8,16,鬃
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1,
1 2
,
1 4
,
1
(1) (2) (3) (4) (5) 1，3，9，27，81，…
1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,
是,公比 q=3 是,公比 q=
1 2
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，… 1，0，1，0，1，…
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(6)
(7)
0，0，0，0，0，…
1, x , x , x , x , (x 0)
2 3 4
是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 a n 0 2. 公比不能为零,即 q 0
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
2 、 等 比 数 列 { a n }中 , 相 邻 三 项 a n 1 , a n , a n 1 ( n 2 )的 关 系 .
an
2
an1 an1(n 2)
等比数列通项公式的推导:
a n 1 a n d
等差数列通项公式的推导(归纳法)
归纳法
a n 1 a n q
d an am nm
等 比 数 列
a n 1 an q
公差（比） 定义变形 通项公式
q叫公比
an+1=an q
an=a1qn-1 an=amqn-m
q
n m
一般形式 an=am+(n-m)d
中项

an am
1 256
．
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.
变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
6.3 等比数列
a 例1 在等比数列a n 中， 5 1， a 8 1 8 ， 求a 1 3．
解 由
a 5 1, a 8
4
1 8
有
巩 固 知 识 典 型 例 题
1 a1 q ，
(1) (2)

1 8
a1 q ，
7
（2）除以（1）得
1 8 q ，q
n n n 1 n 1
n 1
1)
n 1
3 3 33 3 2 3 ， n 1 n 1 当 n 1时 ， 也 满 足 a n 2 3 an 2 3 .
an a n 1 2 3 2 3
n 1 n2
n 1
3 为 常 数 ( n 2 ).
例4
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【思路点拨】 将递推公式变形，然后利用等比
数列的定义判定． 【解】 (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)． 由 a1＝1，知 a1＋1≠0，可得 an＋1≠0. an＋1＋1 所以 ＝2(n∈N*)． an＋1 所以数列{an＋1}是等比数列．
化简得：
an a1 q
即：
a n a1 q
∴ a n a1 q
n1
此式对n=1也成立
n 1
(n N )

等比数列的通项公式：
a n a 1 q
n 1
（n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。 等比数列通项公式的推广公式：
1 2
3
1 2
；
将q
本例题求解过程 4 中，通过两式相除求 a1 2 出公比的方法是研究 所以，数列的通项公式为 等比数列问题的常用 方法． 1
an 2 (
4
代人（1），得
)
n 1
2
a1 3 a1 q
12
4 1 2 2
12
2
8

学习目标 1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。 数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
a1q
3
a1 3 d
… …
a n a1 (n 1)d
… … n 1 a n a1 q
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵
a2 a1
= q
a3 a2
= q
……
an a n1
= q
将等式左右两边分别相乘可得：
a2 a1 a3 a2
n1
……
an a n1
n 1 q ……q q n 1
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
2
G
ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a 2 a1 d
a3 a2 d
( a1 d ) d
a 2 a1q
a 3 a 2 q ( a1q ) q 2 a1q
a 4 a 3 q ( a1q ) q
2
a1 2 d
a4 a3 d
( a1 2 d ) d