8-7斯托克斯公式与旋度

则沿场F中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分
称 为C向F量 dr场 F沿C P曲dx线CQ按dy所取R方 dz 向的环流量 .
2. 旋度的定义:
称向量( R y
Q
r )i
z
(
P z
R
r )j
x
(
Q x
P )kr y
r
r
为向量场F的旋度,记为rotF .
ijk
r rotF
x
y
. z
PQR
rr 无旋场:rotA 0
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz, 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正，
dydz dzdx dxdy 3 d
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n是 的单位法向量.
五、求向量场 A ( x z)i ( x 3 yz) j 3 xy2 k 沿闭曲 线 为圆 周z 2 x 2 y 2 , z 0 (从z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
具有一阶连续偏导数, 则有公式
(
R y
Q z
)dydz
(P z
R x
)dzdx
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
是有向曲面 的正向边界曲线源自便于记忆形式dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
例3: 求电场强度
E
q r3
r
的旋度
.
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
qx qy qz
r3 r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
例4 : 设f(x,y,z)具有各阶连续偏导数,求div(rotf)
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
说明:stokes公式与Γ上所张的曲面 的形状无关, 若Γ由平面与曲面围成,可取 为以Γ为边界 的平面区域
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度 四、小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内
六、设u u( x, y, z)具有二阶连续偏导数,求rot( gradu).
练习题答案
一、 20.
三、rotA i j .
五、12 .
二、 a3 . 4
四、0.
六、0.