函数周期与对称轴

ab 4. 若 f (a x) f (b x) 则 f ( x) 图象的对称轴为 x
2
证：要证原结论成立，只需证
ab
ab
f(
x) f (
x)
2
2
ba
令x
x 代入 f (a x) f (b x)
2
则 f ( a b x) f ( a b x)
2
2
5. 若 f (a x)
ab
f (b x) 则 f (x) 的图象，以 (
f ( 2) 。
[例 3] 设 f (x) 是定义在 R 上的函数， x R 均有 f ( x) f (x 2) 0 当 1 x 1时 f ( x) 2x 1，求当 1 x 3 时， f ( x) 的解析式。
解： 由 x R 有 f (x) f ( x 2) 得 T 4 设 x (1, 3] 则 ( x 2) ( 1 , 1] f ( x 2) f ( x 2 4) f ( x 2) f ( x) ∴ f (x) f ( x 2) [ 2( x 2) 1] 2x 5 ∴ 1 x 3时 f (x) 2x 5
f (x 1) 1 ，当 x
[0 , 1] 时有
[例 5] 已知 f ( x) 满足 f ( x 2) f ( x 2) ， f (4 x) f (4 x) ，当 6 x 2 时，
f ( x) x 2 bx c且 f ( 4)
的大小关系？
13 ，若 m
b f ( ) ，n
c f( )，p
f (11) 求 m 、 n 、 p
x 代入条件式
1
∴ f ( x)
1
f ( x)
（ 2）设 x1 x 2 则 x 2 x1 0
∴ 0 f ( x2 x1) 1
令 m x1 ， m n x2 则 n x2 x1代入条件式得 f ( x2 ) f (x1) f (x2 x1 ) 即
0 f (x2) 1 f (x1)
∴ f ( x2 ) f ( x1)
正确的为？ 解： （ 2 ）（ 3 ）
[例 2] 若函数 f ( x) ( x a) 3 x R 有 f (1 x) f (1 x) 求 f (2)
解：
x R ， f (1 x) f (1 x) 知 f ( x) 的图象关于 (1 , 0) 对称 而 f ( x) ( x a)3 的对称中心 P ( a , 0) ∴ a 1 ∴ f ( x) ( x 1) 3 则 f (2) f ( 2) 1 ( 3) 3 26
∴ f ( x) f (x b a)
3. f ( x a) f (x b) 则 f (x) 的周期 T 2 b a
证：令 x x a ∴ f ( x) f ( x b a) ①
令 x x b ∴ f ( x a b) f ( x) ②
由①②得： f [ x ( a b)] f [ x (b a)] ∴ f [ x ( a b)] f [ x (b a)] ∴ T 2 b a
∴ f (x) 在 R 上递减
【模拟试题】
一. 选择
1. 已知 f ( x) 满足 f (x 3) f ( x) ， x R 且 f (x) 是奇函数，若 f (1) 2 则
抽象函数的周期与对称轴
本周教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
具体内容
1. 若 f ( x) f ( x T) 则 f ( x) 的周期为 T 。
2. 若 f ( x a) f (b x) 则 f ( x) 的周期为 T b a
证：令 x x a
3
2
解： 由已知得 T 4 ，对称轴 x 4 ∴ x 4 也为一条对称轴
∴ b 4 ∴ b 8 由 f ( 4) 13 ∴ 4c 64 13 ∴ c 3
2
4
8
3
∴ m f ( ) ， n f ( ) ， p f (11) f (3) ∴ n m p
3
2
2
[例 6] 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数，若 f ( x) 的最小正周期是 ，且
, 0) 为对称中心。
2
证：
方法一：要证原结论成立只需证
ab
f(
x)
2
ab
f(
x)
2
ba
令x x
代入 f (a x)
2
f (b x)
ab
则 f(
x)
2
ab
f(
x)
2
方法二：设 y f ( x) 它的图象为 C
P ( x0 , y0 ) C 则 P 关于点 ( a b , 0) 的对称点 P (a b x0 , y0) 2
f (a b x0 ) f [a (b x0 )] f [ b (b x0 )] f ( x0 )
∵ f ( x0 ) y0 ∴ f (a b x0 ) y0 ∴ P C
【典型例题】
1
[例 1] 对于 y f ( x) ， x R 有下列命题。 （ 1）在同一坐标系下，函数 y f (1 x) 与 y f (1 x) 的图象关于直线 x 1对称。 （ 2）若 f (1 x) f (1 x) 且 f (2 x) f (2 x) 均成立，则 f ( x) 为偶函数。 （ 3）若 f (x 1) f ( x 1) 恒成立，则 y f (x) 为周期函数。 （ 4）若 f (x) 为单调增函数，则 y f ( ax ) （ a 0 且 a 1 ）也为单调增函数，其中
（ 1）求证： f (0) 1 且当 x 0 时， f ( x) 1
（ 2）求证： f ( x) 在 R 上递减。
解：
（ 1）在 f (m n) f (m) f ( n) 中，令 m 1， n 0 得 f (1) f (1) f (0)
∵ 0 f (1) 1 ∴ f (0) 1
设 x 0 ，则 x 0 令 m x ， n 有 f (0) f ( x) f ( x) 而 f (0) 1
当 x [ 0 , ] 时， f (x) sin x 求 f ( 5 ) 的值。
2
3
5
2
解： f ( ) f (
3
3
2
3
) f ( ) f ( ) f ( ) sin
3
Leabharlann Baidu
3
3
32
[例 7] 设 y f ( x) 定义在 R 上， m，n R 有 f ( m n) f (m) f (n) 且当 x 0 时， 0 f ( x) 1
[例 4] 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数且满足 f ( x) x 2 则
（ 1） f (x) 是周期函数且周期为 2 （ 2）当 x [1 , 2] 时， f ( x) 2 x x 2
3 （ 3） f ( 2004 , 5) 其中正确的是？
4
解： （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）
f ( x)