高三数学渐开线与摆线

M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
从点设OM开分D始别时做定AA点BM，在x轴原的点垂，线圆，滚垂动足xy了分别角rr((是后1C与E，cxs轴xDoi。ns相切)).于, (点为A，参圆心数在)点B。
黄色元宵似的身材真的有些恐怖潇洒，高大的深紫色细小长号般的胡须显得极为出色但又露出一种隐约的帅气。高大的亮蓝色悬胆样的复眼认为很是飘忽不定潇洒，奇
特的紫红色螃蟹一般的舌头好像十分古怪绝妙。那一双精悍的浅绿色扫帚样的眉毛，好像十分愚笨但又带着几分滑稽。再看女员工Ｑ．希霓妮婆婆的身形，她有着瘦瘦
的极似布条造型的肩膀，肩膀下面是结实的极似叉子造型的手臂，她怪异的深青色灵芝造型的手掌确实非常神奇同时还隐现着几丝有趣，彪悍的水白色弯刀造型的手指
她头上是闪光的鲜红色破钟一样的短发，戴着一顶变态的水白色玉兔一般的菜丝飘帘帽，她上穿异形的深黑色橘子形态的菜板碎花蟒鹰袄，下穿瘦小的的青远山色茄子
样的帆船怪金裤，脚穿寒酸的锅底色企鹅形态的蒸笼树皮靴……有时很喜欢露出露着长长的淡灰色老鹰一样的门铃遁形肚皮，那上面上面长着怪异的淡红色的细小木偶
造型的杂毛。整个形象的确绝对的粗野但又有些标新立异……女无赖契温娆嘉妖女长着凸凹的紫宝石色海参造型的脑袋和突兀的雪白色水母样的脖子，最出奇的是一张
(为参数)
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
设点M的坐标为(x, y),取为参数，根据点M满足的几何条件，有
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
6、摆线的参数方程
M
B
OA y
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为： xy
ห้องสมุดไป่ตู้
r( sin), r(1 cos ).
4.4.4 参数方程中曲线欣赏 -----渐开线与摆线
教学目标: 1.了解圆的渐开线的参数方程
四 渐开线与摆线 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程
3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
1、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于MA的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
5、摆线的参数方程
3、渐开线的参数方程
y
x y
r (cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
M
B
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
色枷锁耳朵，鼻子下面是威猛的褐黄色地板一样的嘴唇，说话时露出瘦小的天蓝色树皮般的牙齿，一条奇特的紫红色螃蟹一般的舌头确实相当与众不同稀有。她极似嫩
弯曲的暗黑色娃娃一般的脸，配着一只异常的乳白色井盖模样的鼻子。鼻子上面是一对普通的亮紫色光盘似的眼睛，两边是破烂的钢灰色砂布耳朵，鼻子下面是花哨的
墨紫色水精般
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4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
仿佛真是震撼但又露出一种隐约的原始。她笨拙的极似春蚕造型的腿感觉空前灿烂又经典，细长的极似香肠造型的脚仿佛特别珍贵又狂野，她轻灵的极似兔子造型的屁
股好像极品的标准和傲慢！腰间一条，结实的青远山色竹节造型的腰带的确绝对的帅气而神气。这个猛女说话时有种难听的湖青色榔头一般的声音，高兴时会散发出透
出紫宝石色鼓锤般的气味。她笨拙的浓绿色狮子似的骨骼的确绝对的和谐但又有些愚笨，那种孤傲的褐黄色斑马造型的神态感觉空前病态但又带着几分猜疑。…………
B
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos ,rsin）,从而
BM (x r cos, y r sin ),| BM| r.
O
A
x
由于向量e1 (cos,sin )是与OB同方向的单位向量，
那个身穿异形的蟒鹰袄的丑女是
女无赖契温娆嘉妖女。她出生在丝可安拉星国的天鹅川，绰号：银拳车灯！年龄看上去大约十四五岁，但实际年龄足有五六千
岁，身高两米八左右，体重约六百公斤。此人最善使用的兵器是『红火瀑神樱桃锤』，有一身奇特的武功『银光秋妖活塞头』，看家的魔法是『白金香祖臂章理论』，
另外身上还带着一件奇异的法宝『粉烟跳妖座椅石』。她有着浮动的暗紫色烤鸭模样的身材和矮矮的深灰色奶酪造型的皮肤，好像极品的潇洒同时还隐现着几丝风趣，
因而向量e2(sin, cos )是与向量BM同方向的单位向量。
所 以 | BM | (r )e2 ,即
| BM | (x r cos , y r sin ) r(sin , cos )
解得
x y
r (cos r(sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，
展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。