统考版2022届高考数学一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

考点二 含有逻辑联结词的命题 判断含有逻辑联结词命题真假的三个步骤
[典例 2] (1)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一 次．设命题 p 表示“甲的试跳成绩超过 2 米”，命题 q 表示“乙的试 跳成绩超过 2 米”，则命题 p∨q 表示( )
A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过 2 米 B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过 2 米 C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过 2 米 D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过 2 米
(2)由－1≤cos x≤1，得 lg cos x≤0，所以命题 p 为假命题． 当 x∈R 时，3x＞0，故命题 q 为真命题． 所以 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，p∨( q)为假命题，( p)∧( q) 为假命题，故选 D．]
[跟进训练] 1．“a2＋b2≠0”的含义为( ) A．a 和 b 都不为 0 B．a 和 b 至少有一个为 0 C．a 和 b 至少有一个不为 0 D．a 不为 0 且 b 为 0，或 b 不为 0 且 a 为 0 C [a2＋b2＝0⇔a＝0 且 b＝0，因此 a2＋b2≠0⇔a≠0 或 b≠0， 故选 C．]
1．全称命题与特称命题的否定 (1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题 的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 真假
判断方法一
判断方法二
真 所有对象使命题真 否定为假 全称命题
假 存在一个对象使命题假 否定为真
x
题；对于p4，结合指数函数y＝12 与对数函数y＝log1 x在0，13上的图象可以判
3
断p4是真命题．]
点评：因为命题 p 与 p 的真假性相反，因此不管是全称命题， 还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
[跟进训练] 1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 D [改写量词为：∃x∈R，∀n∈N*，否定结论为：n＜x2，故选 D．]
点评：(1)当 p 是全称(特称)命题且为假命题时，要转化为 p 为 真命题去处理，无非转化为恒成立或能成立问题．
(2)改写量词时自变量的范围不变．
全称命题、特称命题的真假判断 [典例1－2] (1)下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R,2x－1＞0 C．∃x0∈R，lg x0＜1 D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
(2)下列四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0；
所以实数 m 的取值范围为[2，＋∞)．
[母题变迁] 1．在本例条件下，若 p∧q 为真，求实数 m 的取值范围． [解] 依题意知 p，q 均为真命题，当 p 是真命题时，有 m＜0； 当 q 是真命题时，有－2＜m＜2， 由m－＜2＜0，m＜2， 可得－2＜m＜0. 所以实数 m 的取值范围为(－2,0)．
特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假
全称命题、特称命题的否定
[典例1－1] (1)命题“∀x＞0，x－x 1＞0”的否定是(
)
A．∃x＜0，x－x 1≤0
B．∃x＞0,0≤x≤1
C．∀x＞0，x－x 1≤0
D．∀x＜0,0≤x≤1
(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则 p为( ) A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
第一章 集合、常用逻辑用语、 不等式
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与 存在量词
[考试要求] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词和存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
01
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1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的或、且、非 叫做逻辑联结词．
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
[常用结论] 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q：“有真则真，全假才假”，即 p，q 中只要有一个真命 题，则 p∨q 为真命题，只有 p，q 都是假命题时，p∨q 才是假命题． (2)p∧q：“有假则假，全真才真”，即 p，q 中只要有一个假命 题，则 p∧q 为假命题，只有 p，q 都是真命题时，p∧q 才是真命题． (3) p： p 与 p 的真假相反．
[典例 3] 已知 p：存在 x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意 x∈R，x2 ＋mx＋1＞0，若 p∨q 为假命题，求实数 m 的取值范围．
[解] 由 p∨q 为假命题知 p、q 均为假命题，则 p 为真命题，即 ∀x∈R，mx2＋1＞0 为真命题，则有 m≥0，当 q 为真命题时，有 Δ ＝ m2 － 4 ＜ 0 ， 即 － 2 ＜ m ＜ 2 ， 因 此 由 p ， q 均 为 假 命 题 得 m≥0， m≤－2或m≥2， 即 m≥2.
A．1 B．2 C．3 D．4 B [p 和 q 显然都是真命题，所以 p， q 都是假命题，p∨q，p∧q 都是真命题．]
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3．下列命题中的假命题是( )
A．∃x0∈R，lg x0＝1 C．∀x∈R，x3＞0
B．∃x0∈R，sin x0＝0 D．∀x∈R,2x＞0
C [当 x＝10 时，lg 10＝1，则 A 为真命题；当 x＝0 时，sin 0 ＝0，则 B 为真命题；当 x≤0 时，x3≤0，则 C 为假命题；由指数函 数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则 D 为真命题．故选 C．]
2．已知命题 p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；命题 q： ∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则( )
A．( p)∨q 为真命题 B．p∧( q)为假命题 C．p∧q 为真命题 D．p∨q 为真命题
D [由 a＞b⇔2a＞2b 知，命题 p 是真命题，对 x0∈R，都有|x0 ＋1|＞x0，因此命题 q 是假命题，从而 p∨q 为真命题，故选 D．]
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真真 真 真 假 真假 假 真 假 假真 假 真 真 假假 假 假 真
提醒：“命题的否定”与“否命题”的区别 (1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件， 也否定其结论． (2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而 否命题与原命题的真假无必然联系．
(1)B (2)D [(1)因为x－x 1＞0， 所以 x＜0 或 x＞1， 所以x－x 1＞0 的否定是 0≤x≤1， 所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选 B． (2)由特称命题的否定可得 p 为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx 不是增 函数”．]
点评：(1)x－x 1＞0 的否定不是x－x 1≤0，而是x－x 1≤0 或 x＝1， 可先求出不等式x－x 1＞0 的解集，再写x－x 1＞0 的否定．
p2：∃x0∈(0,1)，log1x0＞log1x0；
2
3
x
p3：∀x∈(0，＋∞)，12
＞log x；
1
2
x
p4：∀x∈0，13，12
＜log x.
1
3
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3
D．p2，p4
(1)D (2)D [(1)A 显然正确；由指数函数的性质知 2x－1＞0 恒成 立，所以 B 正确；当 0＜x＜10 时，lg x＜1，所以 C 正确；因为 sin x ＋cos x＝ 2sinx＋π4，所以－ 2≤sin x＋cos x≤ 2，所以 D 错误．
(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有12x0＞13x0成立，故p1是假命题；对于
p2，当x0＝
1 2
时，有1＝log
1
1 2
＝log
1
1 3
＞log
1
1 2
成立，故p2是真命题；对于p3，结合
2
3
3
x
指数函数y＝
1 2
与对数函数y＝log 1 x在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命
2
2．在下列给出的四个命题中，为真命题的是( ) A．∀a∈R，∃b∈Q，a2＋b2＝0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C．∀n∈Z，∃m∈Z，n＞m2 D．∀a∈R，∃b∈Q，a2＋b2＝1
B [对于 A：当 a＝2 时，a2＋b2＝0 不成立，故 A 错误； 对于 B：当 m＝0 时，nm＝m 恒成立，故 B 正确； 对于 C：当 n＝－1 时，n＞m2 不成立，故 C 错误； 对于 D：当 a＝2 时，a2＋b2＝1 不成立，故 D 错误．]
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．
()
(2)若命题 p∧q 为假命题，则命题 p，q 都是假命题． ( )
(3)“全等的三角形面积相等”是全称命题．
Fra Baidu bibliotek()
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相
等”． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
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4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________． 存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是特称命题， 故应填：存在一个实数的平方不是正数．]
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02
细研考点·突破题型
考点一 全称命题、特称命题 考点二 含有逻辑联结词的命题 考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
考点一 全称命题、特称命题
2．在本例条件下，若 p∧q 为假，p∨q 为真，求实数 m 的取值范围． [解] 若 p∧q 为假，p∨q 为真，则 p，q 一真一假． 当 p 真 q 假时mm＜≥02，或m≤－2， 所以 m≤－2； 当 p 假 q 真时m－≥2＜0，m＜2， 所以 0≤m＜2. 所以 m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
1．根据复合命题的真假求参数的步骤 (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种 情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而 求出参数的取值范围．
2．根据全(特)称命题的真假求参数的思路 与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是 恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想 将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程 或不等式(组)求出参数的值或范围．
()
二、教材习题衍生
1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )
A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 C．∀x∈R，x2＋x≤0
B．∃x0∈R，x20＋x0＜0 D．∀x∈R，x2＋x＜0
B [由全称命题的否定是特称命题知选项 B 正确．故选 B．]
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2．已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题 p， q，p∨q，p∧q 中真命题的个数为( )
2．全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫 做全称量词，用符号“ ∀ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通 常叫做存在量词，用符号“ ∃ ”表示．
3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题 对 M 中任意一个 x， ∀__x∈__M__，__p_(x_)___ _∃__x_0_∈__M__，___p_(_x_0)_ 有 p(x)成立
特称命题 存在 M 中的一个 x0，∃__x0_∈__M_，__p_(_x_0)___ _∀__x_∈__M_，____p_(x_)_ 使 p(x0)成立
(2)已知命题 p：∃x0∈R，使得 lg cos x0＞0；命题 q：∀x＜0,3x
＞0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∨( q)
C．( p)∧( q)
D．p∨q
(1)D (2)D [(1)p∨q 表示甲的试跳成绩超过 2 米或乙的试跳成 绩超过 2 米．即甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过 2 米，故选 D．