高考数学复习、高中数学 变化率与导数、导数的计算附答案解析

(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；
1
(3)y＝
.
1－2x
考点二导数的几何意义 角度 1 求切点坐标与切线方程
1 【例 2-1】（1）(2015 陕西，5 分)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝ (x>0)上点
x P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________．
；
(7)(logax)′＝
；(8)(ln x)′＝
.
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
；
(2)[f(x)·g(x)]′＝
；
特别地：[C·f(x)]′＝
(C 为常数)；
[ ] fx
(3)
′＝
gx
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数 设函数 u＝φ(x)在点 x 处有导数 u′＝φ′(x)，函数 y＝f(u)在点 x 的对应点 u 处有 导数 y′＝f′(u)，则复合函数 y＝f[φ(x)]在点 x 处也有导数 y′x＝f′u·u′x，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 【微点提醒】 1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，贰直线与二次曲线相切只有一 个公共点． 5.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化 的 方 向 ， 其 大 小 |f′(x)|反 映 了 变 化 的 快 慢 ， |f′(x)|越 大 ， 曲 线 在 这 点 处 的 切 线 越 “陡”．
y=x2，y=x3，y= 1 ，y= x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 x
运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如 f（ax+b））的导数；6.会
使用导数公式表。
【知识衍化体验】
知识梳理
1．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的
规律方法 1.连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
2.分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.
3.对数形式：先化为和、差的形式，再求导.
4.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.
5.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
6.复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. 【训练 1】求下列函数的导数：
的斜率 k，
即 k＝
；切线方程为
．
物理意义：若物体位移随时间变化的关系为 s＝f(t)，则 f′(t0)是物体运动在 t＝t0
时刻的
．
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝ (C 为常数)；(2)(xn)′＝
(n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝ ；(4)(cosx)′＝
；
(5)(ax)′＝
；(6)(ex)′＝
（2）对函数 f(x)＝－ex－x 图象上任意一点处的切线为 l1，若总存在函数 g(x)＝ax ＋2cos x 图象上一点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－1，2] B．(－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1)
( ) x
x
（4）y＝－sin 1－2cos2
2
4
1
(5)y＝
.
2x－13
角度 2 导数运算的应用 【例 1-2】已知 f′(x)是函数 f(x)的导函数，且对任意的实数 x 都有 f′(x)＝ex(2x－2) ＋f(x)，f(0)＝1，则( )
A．f(x)＝ex(x＋1) B．f(x)＝ex(x－1)C．f(x)＝ex(x＋1)2 D．f(x)＝ex(x－1)2
5．已知直线 y＝kx 是曲线 y＝ln x 的切线，则 k 的值是
1
1
A．e B．－e C. D．－
e
e
【考点聚焦突破】
考点一 导数的基本运算
角度 1 根据求导法则求函数的导数 【例 1-1】求下列函数的导数：
( ) cosx
11
lnx
源自文库(1)y＝
ex
；(2)y＝x
x2＋ ＋ x x3
；(3)
y＝ . x2＋1
，记作：y′|x＝x0 或
fx0＋Δx－fx0
f′(x0)，即“当 x 0时，
Δx
f′(x0)”.
(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，简称导数，即 y′＝ f′(x).
2．导数的几何意义和物理意义
几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)上
基础自测
3 1．有一机器人的运动方程为 s(t)＝t2＋ (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t
t
＝2 时的瞬时速度为( )
19 17 15 13 A. B. C. D.
4444
f（1＋Δx）－f（1）
2．设函数 f(x)可导，则 Error! No bookmark name given.
等
3Δx
于( )
1 A．f′(1) B．3f′(1) C. f′(1) D．f′(3)
3 x 3．曲线 y＝ 在点(1,1)处的切线方程为( ) 2x－1
A．x－y－2＝0
B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0
D．x－4y－5＝0
4．函数 f(x)＝x(2017＋ln x)，若 f′(x0)＝2018，则 x0 的值为( ) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
（2）(2018 全国Ⅱ卷)曲线 y＝2lnx 在点(1，0)处的切线方程为________．
(3)已 知 函 数 f(x)＝ x3－ 4x2＋ 5x－ 4， 则 经 过 点 A(2， － 2)的 曲 线 f(x)的 切 线 方
程
．
角度 2 求参数的值或范围 【例 2-2】（1）(2018 全国Ⅲ)曲线 y＝(ax＋1)ex 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则 a＝ ________．
第三章 导数及其应用 第 1 节 变化率与导数、导数的计算
课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念 的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极 限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数 y=c，y=x，