4第三章泊松过程

例题：设交换机每分钟接到电话的次数 X(t)是强度为λ的泊松过程。求
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。
2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5, 3.9
m X (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) D[ X (t )] t
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s(t 1)
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX (s, t ) min(s, t )
时间间隔Tn的分布
t (t ) n 1 , e fWn (t ) (n 1) 0,
证明
t0 t0
证明：
到达时间的条件分布
假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确 定这一时间到达时间W1的分布。
P{W1 s | X (t ) 1 ? }
到达时间的条件分布 解：
到达时间的条件分布
分布函数
0, s FW1 | X (t ) 1 ( s ) , t 1,
1 , fW1 | X (t ) 1 ( s ) t 0,
s0 0st st
概率密度函数
0st 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。 解：
等待时间Wn的分布
等待时间Wn是指第n次事件A出现的时刻(或第 n次事件A的等待时间)
Wn
T
i 1
n
i
因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。
定理3.3： 设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的 一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与 λ 的Г 分布（也称爱尔兰分布），其概率 密度为
解：
W1(2)
y y
W1(2)
合
y
非齐次泊松过程
定义3.4： 允许速率或强度是t的函数 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 λ (t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：
1. X(0)=0；
2. X(t)是独立增量过程；
3. P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
设{X(t),t≥0}是泊松过程，令X(t)表示t时刻事件A 发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生到 第n次事件A发生的时间间隔。
定理3.2：
设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1} 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立 同分布的均值为1/λ的指数分布。 即:对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间 间隔Tn的分布为
计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A 发生的次数是相互独立的。 计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发 生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无 关。
定义3.2：
称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过 程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是(平稳)独立增量过程； 3. 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次 数服从参数λ>0的泊松分布，即对任意s,t≥0， 有 (t ) n t
m X (t )
(s)ds
0
t
或
[m X (t )]n P{ X (t ) n} exp{m X (t )}, n!
例题3.8 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程（ω ≠0），求E[X(t)]和 D[X(t)]。
解:E[X(t)]= D[X(t)]
1 ( s )ds (1 cos( ws )) ds 0 0 2 1 1 (t sin( wt )) 2 w
P{ X (t s) X ( s) n} e n! ,
n 0,1,
泊松过程同时也是平稳增量过程
E[ X (t )] t
表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称 为泊松过程的速率或强度
定义3.3：
称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过 程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立、平稳增量过程；
第三章 泊松过程
泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的 条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程

泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程 例如： • 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； • 火车站某段时间内购买车票的旅客数； • 机器在一段时间内发生故障的次数；
计数过程 定义：
称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示 到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且 N(t)满足下列条件：
1. N(t) ≥0; 2. N(t)取正整数值以及0； 3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)； 4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的 “事件A”的次数。
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的均值函数为
m X (t )
(s)ds
0
t
定理3.5： 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 非齐次泊松过程，则有
P{ X (t s) X (t ) n} [m X (t s) m X (t )]n exp{[m X (t s) m X (t )]}, n 0 n!
t t
1 (t ) (1 cost ) 2
例题3.9
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发 出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200 人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线 性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18 时保持平均到达率不变；18时到21时从到 达率1400人/时按线性下降，到21时为200 人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内 是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车 人数的数学期望。 解：
例如： 到达体育场的公共汽车数是一泊松过程,而每辆公共 汽车内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内 的乘客数Yn服从相同分布,且又彼此统计独立,各辆车 的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的,则到达体育 馆的总人数X(t)是一个复合泊松过程.
X (t )
N (t ) n 1
Y ,
n
t0
N (t )
设X (t ) 来自Yk 1k
,
t 0
是复合泊松过程，则
1.若E(Y12)<∞，则
E[ X (t )] tE[Y1 ], D[ X (t )] tE[Y12 ]
例题： 设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均 每周内有2户定居，但每户的人口数是随机变量，一 户4人概率为1/6，一户3人概率为1/3，一户2人概率 为1/3，一户1人概率为1/6，求5周内移民到该地区 的人口的数学期望与方差。 解：
例题3.4 设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n} 解：
例题3.5设在[0,t]内事件A已经发生n次，求 第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条件概率 密度函数。
解:
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的 泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件 Wk(1) 数分别为λ 1和λ2，记 为过程X1(t)的第k次事 W1( 2 ) 件到达时间， 为过程X2(t)的第1次事件到达 时间，求 P{Wk(1) W1( 2) }
X (t ) Yi
i 1
N (t )
1 P{Y 1} P{Y 4} 6 1 P{Y 2} P{Y 3} 3
则:
E[Y ]
15 6
E[Y ]2
43 6
15 E[ X (5)] tE[Y ] 10 =25 6 43 215 2 D[ X (5)] tE[Y ] 10 6 3
复合泊松过程
定义3.5： 设{N(t),t≥0}是强度为λ 的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N (t )
X (t )
Y ,
k k 1
t0
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t) Yk X(t) 在时间段(0,t]内来到商店的顾客数 第k个顾客在商店所花的钱数 该商店在(0,t]时间段内的营业额
3. X(t)满足下列两式：
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
在充分小的 时间 内，最多有一个事件发生，而不能 有两个或两个以上事件同时发生。
(2)证明定义3.2和定义3.3是等价的。
泊松过程的数字特征 设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且 s<t，有 E[ X (t ) X (s)] D[ X (t ) X (s)] t s 由于X(0)=0，所以
1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t0 0,
其概率密度为
证明
e t , f Tn (t ) 0,
t0 t0
证明：
所以,T1服从均值为1/λ的指数分布。
所以,T2也服从均值为1/λ的指数分布。
同理可以证明：对于任意的n=1,2,…,事件相继到 达的时间间隔Tn也服从均值为1/λ的指数分布