一阶可分离变量型微分方程

分离变量、积分得
X 2(u2 2u 1) c, 即Y 2 2XY X 2 C,
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解 ( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C,
利用变量代换求微分方程的解
1. 求方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0 通解.
u

xu

2u2 1 u

u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u1 3 Cx.
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
微分方程的解为 sin y ln x C . x
dx
dy
例 2 求解微分方程
x2பைடு நூலகம்

xy

y2

2 y2

. xy
解
dy 2 y2 xy dx x2 xy y2

2 1
y x y x
2

y x


y x

2
,
令u y , x
则 dy xdu udx,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
所求规律为t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
解：x(t) kx( N x)
x t0 x0

kx(
dx N
x)


dt

x

NCekNt 1 CekNt
代入初始条件，得C x0 N x0
x
Nx0e kNt
N x0 x0ekNt
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律.
例 3 抛物线的光学性质
yT
实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
解 如图 设旋转轴 ox轴 光源在(0,0), A M
L : y y( x) 设M ( x, y)为上任一点，
o
R
x
N
MT为切线, 斜率为 y,
L
MN为法线,
斜率为
1 y
,

OMA

RMT

,
由夹角正切公式
抛物线
y2 z2 2C( x C ). 2
2、可化为齐次的方程
1.定义 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法 令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy

cos
y sin xdx
, y x0

； 4
2、cos
ydx

(1
e x ) sin
ydy

0, y x0

. 4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)x du ydx 0, x
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|

u[
f
g(u) du (u) g(u)]
a1 b1
(2) 0,
若 b 0, 可分离变量的微分方程.
若 b 0,a1 0,
令 z ax by,
dy 1 ( dz a), dx b dx
1 ( dz a) f ( z c)
b dx
c1
可分离变量的微分方程.
当b1 0时,
令 a1 b1 ,
,
两端积分

dy y


xdx 1 x2
,
ln y 1 ln(1 x2 ) ln C y c 1 x2为所求通解. 2
例2 求方程 f ( xy) ydx g( xy)xdy 0 通解.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)x du ydx 0, x

2
C, 为所求通解.
y 2k 也是解.
ln csc y cot y 22
2cos x C, y 2k为方程解。
2
练习题
一、求下列微分方程的通解: 1、sec 2 x tan ydx sec 2 y tan xdy 0 ； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ； 3、( y 1)2 dy x 3 0. dx
ab
方程可化为 dy f ( ax by c ), dx (ax by) c1
令 z ax by,
则 dz a b dy， 1 ( dz a) f ( z c ).
dx
dx b dx
z c1
求通解,代回z=ax+by
可分离变量.
例4 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
1、齐次方程 P230
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法
作变量代换
u
y x
,
即
y

xu,

dy u x du ,
dx
dx
代入原式 u x du f (u), 即 du f (u) u .
dx
dx
x
可分离变量的方程
当 f (u) u 0时,
四、小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
(1 u2 ) 1 u2 x
令 1 u2 t 2，
tdt dx , t(t 1) x
积分得 ln t 1 ln C , 即 x
平方化简得
u2

C2 x2

2C x
,
y2 2C( x C ) 2
所求旋转轴为 ox轴的旋转抛物面方程为
u2 1 C 1, x
dY dX

f ( aX bY ah bk c ) a1 X b1Y a1h b1k c1
(1)
令
:
ah bk c a1h b1k
c1
0,
(2)
0,
(1)
a
b
0,
求通解 (2)有唯一一组解(h,k).
代回
X Y

x h, y k，
入射角余角=反射角余角
1y
tanOMA
y 1
x y

1 tanRMT y
xy
得微分方程
yy2 2xy y 0,
即 y x y
( x)2 1. y
令u y， x
得 u x du 1 1 u2 ,
dx
u
分离变量
udu
dx ,
思考题
求解微分方程
dy cos x y cos x y .
dx
2
2
dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22

dy 2 s in
y

sin
x 2
dx,
ln
csc
y 2

cot
y 2

2cos
x 2
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
例题
例1
求解微分方程
dy dx

2 xy
及
dy dx

1
xy x2
的通解.
解 分离变量 dy 2xdx,
y
两端积分

dy y


2
xdx,
ln y x2 C1 y cex2为所求通解.
又
dy y

xdx 1 x2
解
1 1

2 0,
11
方程组hh

k k

1 3

0 0,
h 1,k 2, 令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
dY X Y , 令u Y ， 方程变为 u X du 1 u ,
dX X Y
X
dX 1 u
解 衰变速度 dM , 由题设条件
dt
dM M ( 0衰变系数) dt
dM dt M

dM M


dt ,
ln M t ln c,
即M cet ,
代入M t0 M0 得 M0 ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4在 某 一 个 群 中 推 广 新 技术 是 通 过 其 中 已 掌 握 新 技 术 的 人 进 行 的 ， 设该 人 群 的 总 人 数 为N， 在 任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t（) 将x(t )视为 连 续 可 微 变 量 ） ， 其 变化 率 与 已 掌 握 新 技 术 人数 和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k 0, 求x(t )（. 97）

C.
2. 求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
dy 1 u2 解得 arctanu x C, dx 代回 u x y,得 arctan( x y) x C,
二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y .
三、v 269.3厘米/秒.
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 x 轴 , y 轴 指向对 岸,则所求航线为 x k (h y2 1 y3 ). a2 3
可化为分离变量的微分方程---齐次方程
得

f
du (u)
u


dx x
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
第二节
一阶可分离变量型微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5

4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2ghdt, (1)
h
h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|

u[
f
g(u) du (u) g(u)]

C.
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成
正比,已知 M t0 M0,求衰变过程中铀含量M (t ) 随时间t 变化的规律.